Um tronco de pirâmide regular tem como bases triângulos equiláteros cujos lados medem, respectivamente, 2 cm e 8 cm . A aresta lateral mede 5 cm . Calcule a área lateral, a área total e o volume desse tronco.

Passo 1

O enunciado dá um tronco de pirâmide regular cujas bases são triângulos equiláteros de lados ,2 cm (base menor) e ,8 cm (base maior) e aresta lateral igual a ,5 cm. Vamos precisar de:
  • área de cada base: A=tfracraiz34,a^2.
  • área lateral: soma das áreas de 3 trapézios isósceles de bases 2 e 8 e altura lateral l.
  • volume do tronco: V=h3l(Amenor+Amaior+raizAmenorAmaiorr), com h a altura vertical.

Passo 2

Para cada trapézio lateral, as bases valem b1=2 e b2=8, e as “pernas” valem 5. O deslocamento horizontal entre vértices correspondentes é
b2-b12= 8-22=3
Logo a altura do trapézio é
l=raiz5^2-3^2=raiz25-9=4
A área de um trapézio é ,(b1+b2),l/2=(2+8)cdot4/2=20. Como há 3 faces,
Área lateral=3times20=60 cm^2 Á

Passo 3

Cada base é triângulo equilátero:
Amenor=raiz34,2^2=raiz3, Amaior=raiz34,8^2=16raiz3
A área total (bases + lateral) fica
Área total =60+l(raiz3+16raiz3r) =60+17raiz3cm^2 Á

Passo 4

Para achar a altura h do tronco, usamos a projeção horizontal da aresta lateral entre vértices, que vale a distância do centro ao vértice grande menos a do vértice pequeno:
d=8raiz33-2raiz33=2raiz3
Como a aresta lateral é 5, temos
h=raiz5^2-(2raiz3)^2 =raiz25-12 =raiz13
O volume é
V=h3l(Amenor+Amaior+raizAmenorAmaiorr) =raiz133l(raiz3+16raiz3+4raiz3r) =raiz133,21raiz3 =7raiz39 cm^3

Resposta

Área lateral: 60 cm^2
Área total: 60+17raiz3 cm^2
Volume: 7raiz39 cm^3

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