Dois poliedros semelhantes P1 e P2 têm áreas iguais a 8 cm^2 e 12 cm^2, respectivamente. Determine o volume de P1, sendo 36 cm^3 o volume de P2.

Passo 1

O enunciado dá dois poliedros semelhantes P1 e P2 com áreas de superfície
S1=8 cm^2, S2=12 cm^2
e volume de P2 igual a
V2=36 cm^3
Queremos achar o volume V1 de P1. O conteúdo aqui é semelhança de sólidos: a razão das áreas escala ao quadrado da razão linear, e a razão dos volumes escala ao cubo da razão linear.

Passo 2

Seja k a razão linear de P2 para P1, isto é, k = dfracaresta de P2aresta de P1. Pela semelhança de superfícies temos
S2S1 = k^2
Substituindo os valores,
k^2 = 128 = 32,
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k = raiz32

Passo 3

Para os volumes, a razão de P2 para P1 é
V2V1 = k^3
Desse modo
V1 = V2k^3 = 36l(raiztfrac32r)^3 = 36 ,1(tfrac32)^3/2 =36;2^3/23^3/2
Agora simplificamos:
2^3/2=2raiz2, 3^3/2=3raiz3,
então
V1=36;2raiz23raiz3 =12;2raiz2raiz3 =24;raiz23 =8raiz6

Resposta

O volume de P1 é 8raiz6 cm^3.

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