O plano que dista 3 m da base de uma pirâmide secciona-a segundo um polígono de 8 m^2 de área. Calcule o volume da pirâmide, sabendo que sua base tem área igual a 18 m^2.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos uma pirâmide de base com área ,18 m^2 e altura desconhecida H. Um plano paralelo à base, situado a 3 m acima dela, corta a pirâmide em um polígono de área 8 m^2. O conteúdo envolvido é a semelhança de seções transversais de pirâmides e a fórmula do volume de uma pirâmide. Vamos precisar da relação de que, em uma pirâmide, a área de uma seção paralela à base varia como o quadrado da razão linear entre alturas.

Passo 2

Em qualquer pirâmide, se cortarmos a uma altura x acima da base, a área da seção é proporcional ao quadrado do fator linear
fator = 1 - xH,
onde H é a altura total. Assim, a área dessa seção é
S(x)=Sbasel(1-xHr)^2

Passo 3

No nosso caso x=3, Sbase=18 e S(3)=8. Substituindo na fórmula obtemos
8 = 18l(1-3Hr)^2

Passo 4

Isolando o termo quadrático:
l(1-3Hr)^2 = 818=49 Longrightarrow 1-3H = 23
(escartamos o sinal negativo porque a seção está abaixo do vértice). Logo
1-3H=23 Longrightarrow 3H = 13 Longrightarrow H=9 m

Passo 5

Agora usamos a fórmula do volume de uma pirâmide:
V = 13 ,Sbase,H = 13times 18 times 9 = 54 m^3

Resposta

O volume da pirâmide é 54 m^3.

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