O plano que dista 3 m da base de uma pirâmide secciona-a segundo um polígono de
de área. Calcule o volume da pirâmide, sabendo que sua base tem área igual a
.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos uma pirâmide de base com área
e altura desconhecida
. Um plano paralelo à base, situado a
acima dela, corta a pirâmide em um polígono de área
. O conteúdo envolvido é a semelhança de seções transversais de pirâmides e a fórmula do volume de uma pirâmide. Vamos precisar da relação de que, em uma pirâmide, a área de uma seção paralela à base varia como o quadrado da razão linear entre alturas.
Passo 2
Em qualquer pirâmide, se cortarmos a uma altura
acima da base, a área da seção é proporcional ao quadrado do fator linear
onde
é a altura total. Assim, a área dessa seção é
Passo 3
No nosso caso
,
e
. Substituindo na fórmula obtemos
Passo 4
Isolando o termo quadrático:
(escartamos o sinal negativo porque a seção está abaixo do vértice). Logo
Passo 5
Agora usamos a fórmula do volume de uma pirâmide:
Resposta
O volume da pirâmide é
.