A área da superfície total de um cubo é igual à de um ortoedro de área 216 cm^2. A altura do ortoedro é de 3 cm e uma das dimensões da base é 13 da outra. Determine a relação entre os volumes de ambos os sólidos.

Passo 1

O enunciado dá um cubo cuja área total é igual à área total de um ortoedro de 216:cm^2. A altura do ortoedro é 3:cm e as dimensões da base estão na razão 1:3. Queremos comparar os volumes do cubo e do ortoedro.

Passo 2

Seja s a aresta do cubo. A área total do cubo é
6s^2 ;=;216
Daí
s^2 = 2166=36 Longrightarrow s=6:cm

Passo 3

O volume do cubo é
Vcubo = s^3 = 6^3 = 216:cm^3

Passo 4

Sejam d e 3d as dimensões da base do ortoedro, e h=3:cm a altura. A área total do ortoedro é
2l(dcdot3d + dcdot3 + 3dcdot3r) =2l(3d^2 +3d +9dr) =6d^2+24d
e deve valer 216. Logo
6d^2+24d-216=0 Longrightarrow d^2+4d-36=0
Resolvendo, o valor positivo é
d = -2 + 2raiz10

Passo 5

O volume do ortoedro é
Vorto = d,(3d),3 = 9d^2
Para comparar, fazemos
VcuboVorto = 2169d^2 = 24d^2
Como d^2 vem de d^2+4d-36=0, obtemos após racionalizar
VcuboVorto = 22+4raiz1027approx1,283

Resposta

VcuboVorto =22+4raiz1027approx1,283

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