A aresta lateral PA de uma pirâmide mede 20 m . Que comprimento devemos tomar sobre essa aresta, a partir do vértice, para que dois planos paralelos à base dividam a pirâmide em três sólidos cujos volumes são proporcionais a 4,5 e 6 ?

Passo 1

Temos uma pirâmide de vértice P e base qualquer, em que cada aresta lateral PA mede 20 m. Queremos traçar duas seções planas paralelas à base que cortem cada aresta lateral em dois pontos, de modo a obter três sólidos cujos volumes sejam proporcionais a 4:5:6. Para resolver vamos usar semelhança de sólidos e o fato de que, em pirâmides ou cones, volumes escalam com o cubo do fator linear.

Passo 2

Se numa aresta lateral de comprimento total PA=20 tomarmos um ponto X a uma distância x de P, o plano paralelo à base por X determina, acima de X, uma “mini-pirâmide” semelhante à original com razão linear
k = x20
Como o volume de pirâmides semelhantes escala como o cubo da razão linear, o volume da mini-pirâmide P-base em X é
V1 = k^3 ,Vtotal

Passo 3

Chamando x1 e x2 as distâncias de P para as duas seções (com 0<x1<x2<20), temos razões
k1 = x120, k2 = x220,
e volumes dos três sólidos:
V1 = k1^3 V, V2 = (k2^3 - k1^3) V, V3 = (1 - k2^3)V,
onde V=Vtotal. Exigimos
V1 : V2 : V3 = 4:5:6 Longrightarrow V1 = 415V, V1+V2 = 4+515V = 915V
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k1^3 = 415, k2^3 = 915 = 35

Passo 4

Extraindo raizes cúbicas e voltando às distâncias sobre a aresta:
k1 = raiz[3]tfrac415, k2 = raiz[3]tfrac35,
x1 = 20,k1 = 20raiz[3]415, x2 = 20,k2 = 20raiz[3]35

Passo 5

Para termos valores aproximados:
x1 approx 20cdot0,646 = 12,9 m, x2 approx 20cdot0,843 = 16,9 m

Resposta

Traçar a primeira seção a
x1 = 20raiz[3]415approx12,9 m
e a segunda a
x2 = 20raiz[3]35approx16,9 m
a partir do vértice P.

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