A aresta lateral PA de uma pirâmide mede 20 m . Que comprimento devemos tomar sobre essa aresta, a partir do vértice, para que dois planos paralelos à base dividam a pirâmide em três sólidos cujos volumes são proporcionais a 4,5 e 6 ?
Passo 1
Temos uma pirâmide de vértice
e base qualquer, em que cada aresta lateral
mede
m. Queremos traçar duas seções planas paralelas à base que cortem cada aresta lateral em dois pontos, de modo a obter três sólidos cujos volumes sejam proporcionais a
. Para resolver vamos usar semelhança de sólidos e o fato de que, em pirâmides ou cones, volumes escalam com o cubo do fator linear.
Passo 2
Se numa aresta lateral de comprimento total
tomarmos um ponto
a uma distância
de
, o plano paralelo à base por
determina, acima de
, uma “mini-pirâmide” semelhante à original com razão linear
Como o volume de pirâmides semelhantes escala como o cubo da razão linear, o volume da mini-pirâmide
-base em
é
Passo 3
Chamando
e
as distâncias de
para as duas seções (com
), temos razões
e volumes dos três sólidos:
onde
. Exigimos
Logo
Passo 4
Extraindo raizes cúbicas e voltando às distâncias sobre a aresta:
Passo 5
Para termos valores aproximados:
Resposta
Traçar a primeira seção a
e a segunda a
a partir do vértice
.