Uma pirâmide tem altura h e área da base B. A que distância do vértice deve ser conduzido um plano paralelo à base para que a área da seção seja b ?

Passo 1

O enunciado diz que temos uma pirâmide de altura h e área da base B. Queremos cortar essa pirâmide por um plano paralelo à base, situado a uma distância x do vértice, de modo que a área da seção obtida seja b. Vamos usar semelhança de figuras planas (seções transversais de pirâmide) para relacionar x, h, B e b.

Passo 2

Se cortamos a pirâmide por um plano paralelo à base a uma distância x do vértice, a seção resultante é uma figura semelhante à base, com razão linear de semelhança
r = xh
Por semelhança, cada dimensão linear da seção vale r vezes a dimensão correspondente da base.

Passo 3

Como a área escala com o quadrado da razão de semelhança, a área da seção é
área da seção = B ,r^2 = B (xh)^2 áçã
Queremos que isso seja igual a b, então
b = B (xh)^2

Passo 4

Isolando x na equação acima, temos
x^2h^2 = bB Longrightarrow x^2 = h^2,bB Longrightarrow x = h,raizbB

Resposta

x = h,raizdfracbB.

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