Determine a distância do vértice de um cone a um ponto de sua geratriz, sabendo que um plano contendo esse ponto e paralelo à base do cone secciona-o, dividindo a superfície lateral do cone em duas superfícies equivalentes, e que a geratriz do cone mede 36 cm .

Passo 1

O enunciado pede o ponto P sobre a geratriz de um cone de geratriz 36;cm tal que um plano passando por P e paralelo à base divide a superfície lateral em duas partes de mesma área. Vamos usar o fato de que a área lateral de um cone é pi r s e aplicar semelhança de cones para a parte acima de P.

Passo 2

Seja s=36 a geratriz do cone original e r o raio da base. A área lateral total é
Atotal = pi r s
O plano paralelo à base forma um pequeno cone semelhante, de geratriz s' e raio r', cuja área lateral é
Apequeno = pi r' s'

Passo 3

Como os cones são semelhantes, vale
r'r ;=;s's ;=;k
Então r'=k,r e s'=k,s. A condição de dividir em áreas iguais é
Apequeno ;=;tfrac12,Atotal Longrightarrow pi,r',s' ;=;tfrac12,pi,r,s Longrightarrow r',s' ;=;tfrac12,r,s

Passo 4

Substituindo r'=k,r e s'=k,s em r's'=tfrac12,rs
k^2,r,s ;=;tfrac12,r,s Longrightarrow k^2 ;=;tfrac12 Longrightarrow k ;=;1raiz2

Passo 5

A distância de V (vértice) até P ao longo da geratriz é exatamente s'. Logo
s' ;=;k,s ;=;1raiz2times 36 ;=;18raiz2

Resposta

18raiz2;cm

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