Sabendo que o semiperímetro da seção meridiana de um cone de revolução mede
e que essa seção é um triângulo retângulo isósceles, determine a que distância do vértice devemos traçar um plano paralelo à base do cone para que a área lateral do novo cone seja a quinta parte da área lateral do cone maior.
Passo 1
O enunciado diz que a seção meridiana é um triângulo retângulo isósceles cujo semiperímetro mede
. A seção meridiana de um cone de revolução é um triângulo cujos vértices são o vértice do cone e dois pontos diametralmente opostos da base. Como ele é retângulo isósceles, o ângulo reto fica no vértice do cone e os catetos são a altura
e a geratriz
. A hipotenusa é o diâmetro da base, isto é,
. Vamos usar semiperímetro e semelhança de cones.
Passo 2
Em um triângulo retângulo isósceles com catetos iguais, temos
e pela Pythagoras
O semiperímetro
do triângulo é
Como
, segue
Passo 3
Substituindo
em
, obtemos
Racionalizando ou fatorando, chega-se a
e então
Passo 4
Se traçarmos um plano paralelo à base a uma distância
do vértice, o cone menor resultante é semelhante ao original com razão de semelhanças
Como a área lateral de um cone é
, em similaridade de razão
a área lateral escala como
. Queremos
Logo
Passo 5
Por fim, racionalizando,
Resposta
O plano deve ser traçado a
do vértice.