Sabendo que o semiperímetro da seção meridiana de um cone de revolução mede (6+3 raiz2) cm e que essa seção é um triângulo retângulo isósceles, determine a que distância do vértice devemos traçar um plano paralelo à base do cone para que a área lateral do novo cone seja a quinta parte da área lateral do cone maior.

Passo 1

O enunciado diz que a seção meridiana é um triângulo retângulo isósceles cujo semiperímetro mede (6+3raiz2),cm . A seção meridiana de um cone de revolução é um triângulo cujos vértices são o vértice do cone e dois pontos diametralmente opostos da base. Como ele é retângulo isósceles, o ângulo reto fica no vértice do cone e os catetos são a altura h e a geratriz l. A hipotenusa é o diâmetro da base, isto é, 2R. Vamos usar semiperímetro e semelhança de cones.

Passo 2

Em um triângulo retângulo isósceles com catetos iguais, temos
l = h,
e pela Pythagoras
h^2 + l^2 = (2R)^2 Longrightarrow 2h^2 = 4R^2 Longrightarrow h^2 = 2R^2 Longrightarrow h = Rraiz2
O semiperímetro s do triângulo é
s = h + l + 2R2 = h + h + 2R2 = h + R
Como s = 6 + 3raiz2, segue
h + R = 6 + 3raiz2

Passo 3

Substituindo h = Rraiz2 em h+R=6+3raiz2, obtemos
Rraiz2 + R = 6 + 3raiz2 Longrightarrow Rl(raiz2 + 1r) = 6 + 3raiz2
Racionalizando ou fatorando, chega-se a
R = 3raiz2,
e então
h = Rraiz2 = 3raiz2,raiz2 = 6,
l = h = 6

Passo 4

Se traçarmos um plano paralelo à base a uma distância h1 do vértice, o cone menor resultante é semelhante ao original com razão de semelhanças
r = h1h
Como a área lateral de um cone é A = pi R,l, em similaridade de razão r a área lateral escala como r^2. Queremos
AmenorAoriginal = r^2 = 15
Logo
r = 1raiz5 Longrightarrow h1 = r,h = 6raiz5

Passo 5

Por fim, racionalizando,
h1 = 6raiz5 = 6raiz55 cm

Resposta

O plano deve ser traçado a 6raiz55,cm do vértice.

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