A aresta lateral PA de uma pirâmide mede 4 m . Que comprimento devemos tomar sobre essa aresta, a partir do vértice, para que um plano paralelo à base divida a pirâmide em dois sólidos equivalentes?

Passo 1

O enunciado diz que a aresta lateral PA de uma pirâmide mede 4 m. Queremos escolher um ponto A' em PA, à distância x de P, de modo que o plano que passa por A' e é paralelo à base divida o volume da pirâmide em duas partes iguais.

Passo 2

Quando cortamos a pirâmide por um plano paralelo à base, obtemos no vértice uma pirâmide menor, semelhante à original. Se chamarmos
r=PA'PA=x4
ao fator de semelhança linear, então os volumes satisfazem
Volume da pirâmide menor = r^3 times Volume da pirâmide originalââ

Passo 3

Para que essa pirâmide menor tenha exatamente metade do volume da original, impomos
r^3 = tfrac12
Logo
r = raiz[3]tfrac12 = 2^-1/3

Passo 4

Como r = x/4, segue
x4 = 2^-1/3 Longrightarrow x = 4cdot 2^-1/3

Passo 5

Podemos escrever
x = 4raiz[3]2 = 2^2 - tfrac13 = 2^5/3 approx 3,17 m

Resposta

Devemos tomar
x = 4raiz[3]2 m approx 3,17 m
ao longo de PA a partir de P.

Exercícios de Livros Relacionados