(Argentina-95) Para cada inteiro positivo n seja p(n) o número de pares ordenados (x, y) de inteiros positivos tais que 1 / x+1 / y=1 / n.
Por exemplo, para n=2 os pares são (3,6),(4,4), (6,3). Portanto p(2)=3.
a) Determinar p(n) para todo n e calcular p(1995).
b) Determinar todos os inteiros n tais que p(n)=3.

Passo 1

O enunciado pede para cada inteiro positivo n contar os pares ordenados (x,y) de inteiros positivos tais que
1x+1y=1n
O conteúdo usado será transformação da equação em uma forma fatorável e contagem de divisores de um quadrado perfeito.

Passo 2

Partimos de
1x+1y=1n
e colocamos sobre denominador comum:
x+yxy=1n Longrightarrow n(x+y)=xy Longrightarrow xy-nx-ny=0
Reescrevendo,
(x-n)(y-n)=n^2

Passo 3

A igualdade (x-n)(y-n)=n^2 mostra que, para cada divisor positivo d de n^2, podemos tomar
x-n=d, y-n=n^2d,
o que dá
x=n+d>0, y=n+n^2d>0
Assim há bijeção entre divisores de n^2 e soluções ordenadas (x,y).

Passo 4

O número de divisores positivos de n^2 é dado por
p(n)=tau(n^2)
Se a fatoração de n é
n=prodi=1^r pi^ai,
então
n^2=prodi=1^r pi^2ai Longrightarrow p(n)=prodi=1^r(2ai+1)

Passo 5

Para n=1995, fatoramos
1995=3^1cdot5^1cdot7^1cdot19^1,
logo cada ai=1 e
p(1995)=prodi=1^4(2cdot1+1)=3^4=81

Passo 6

(b) Queremos p(n)=3. Então
prodi=1^r(2ai+1)=3
Como cada fator 2ai+1>=1 é ímpar, a única forma de produto ser 3 é ter exatamente um fator igual a 3 (isto é, a1=1) e nenhum outro primo na fatoração. Portanto r=1 e a1=1, ou seja, n é primo.

Resposta

p(n) = número de divisores de n^2, isto é, se n=prod pi^ai então p(n)=prod(2ai+1).
p( 1995) =81.
p(n) =3 se e somente se n é primo.

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