(Argentina-95) Para cada inteiro positivo
seja
o número de pares ordenados
de inteiros positivos tais que
.
Por exemplo, para
os pares são
,
. Portanto
.
a) Determinar
para todo
e calcular
.
b) Determinar todos os inteiros
tais que
.
Por exemplo, para
a) Determinar
b) Determinar todos os inteiros
Passo 1
O enunciado pede para cada inteiro positivo
contar os pares ordenados
de inteiros positivos tais que
O conteúdo usado será transformação da equação em uma forma fatorável e contagem de divisores de um quadrado perfeito.
Passo 2
Partimos de
e colocamos sobre denominador comum:
Reescrevendo,
Passo 3
A igualdade
mostra que, para cada divisor positivo
de
, podemos tomar
o que dá
Assim há bijeção entre divisores de
e soluções ordenadas
.
Passo 4
O número de divisores positivos de
é dado por
Se a fatoração de
é
então
Passo 5
Para
, fatoramos
logo cada
e
Passo 6
(b) Queremos
. Então
Como cada fator
é ímpar, a única forma de produto ser
é ter exatamente um fator igual a
(isto é,
) e nenhum outro primo na fatoração. Portanto
e
, ou seja,
é primo.
Resposta
p(n)
número de divisores de
, isto é, se
então
.
p( )
.
p(n) se e somente se n é primo.
p(
p(n)