(Argentina-97) Sejam
pontos de uma circunferência tais que
é perpendicular a
e seja
o ponto de interseção de
e
. Se
, calcular o diâmetro da circunferência.
Passo 1
O enunciado diz que temos quatro pontos
numa circunferência, as cordas
e
são perpendiculares em
, e estão dados os comprimentos dos segmentos
,
,
. Queremos o diâmetro da circunferência. Para isso vamos usar dois resultados de geometria de círculos:
- A interseção de cordas: se duas cordas se cruzam em
, então o produto dos comprimentos dos segmentos de uma corda é igual ao produto dos segmentos da outra. - O teorema das cordas perpendiculares: se duas cordas se cortam em
sob ângulo reto, então a soma dos quadrados dos quatro segmentos vale o quadrado do diâmetro.
Passo 2
Aplicando a interseção de cordas em
, temos
Como
,
e
, segue
Passo 3
Pelo teorema das cordas perpendiculares, se as cordas
e
são ortogonais em
, então
onde
é o diâmetro da circunferência.
Passo 4
Substituindo os valores
,
,
,
, obtemos
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Resposta
O diâmetro da circunferência é
(ou
).