(Argentina-97) Sejam A, B, C, D pontos de uma circunferência tais que A B é perpendicular a C D e seja P o ponto de interseção de A B e C D. Se A P=8, D P=6, C P=15, calcular o diâmetro da circunferência.

Passo 1

O enunciado diz que temos quatro pontos A,B,C,D numa circunferência, as cordas AB e CD são perpendiculares em P, e estão dados os comprimentos dos segmentos AP=8, DP=6, CP=15. Queremos o diâmetro da circunferência. Para isso vamos usar dois resultados de geometria de círculos:
  1. A interseção de cordas: se duas cordas se cruzam em P, então o produto dos comprimentos dos segmentos de uma corda é igual ao produto dos segmentos da outra.
  2. O teorema das cordas perpendiculares: se duas cordas se cortam em P sob ângulo reto, então a soma dos quadrados dos quatro segmentos vale o quadrado do diâmetro.

Passo 2

Aplicando a interseção de cordas em P, temos
AP\cdot PB \;=\; CP\cdot PD.
Como AP=8, CP=15 e PD=6, segue
8\cdot PB \;=\; 15\cdot6 = 90 \quad\Longrightarrow\quad PB = \frac{90}{8} = \frac{45}{4} = 11{,}25.

Passo 3

Pelo teorema das cordas perpendiculares, se as cordas AB e CD são ortogonais em P, então
AP^2 + PB^2 + CP^2 + PD^2 \;=\; d^2,
onde d é o diâmetro da circunferência.

Passo 4

Substituindo os valores AP=8, PB=\tfrac{45}{4}, CP=15, PD=6, obtemos
d^2 = 8^2 + \Bigl(\tfrac{45}{4}\Bigr)^2 + 15^2 + 6^2 = 64 + \frac{2025}{16} + 225 + 36 = \frac{5200 + 2025}{16} = \frac{7225}{16}.
Logo
d = \sqrt{\frac{7225}{16}} = \frac{85}{4} = 21{,}25.

Resposta

O diâmetro da circunferência é \displaystyle \frac{85}{4} (ou 21{,}25).

Exercícios de Livros Relacionados