No lado AB de um quadrado ABCD , um triângulo retângulo
(com hipotenusa AB ) é traçado externamente ao quadrado. Se
e
, determine EF , onde E é o ponto de encontro das diagonais do quadrado, aplicando o Teorema de Ptolomeu.
Passo 1
Temos um quadrado
de lado
, sobre cujo lado
construímos, externamente ao quadrado, o triângulo retângulo
de hipotenusa
. Sabemos que
e
. O ponto
é o encontro das diagonais do quadrado. O objetivo é calcular
usando o Teorema de Ptolomeu em algum quadrilátero cíclico.
Passo 2
Do triângulo retângulo
com hipotenusa
vale o Teorema de Pitágoras:
portanto
Passo 3
No quadrado de lado
, cada diagonal mede
e como
é o ponto médio de cada diagonal, temos
Passo 4
Observe que em
temos
(pois
é retângulo)
e
(pois as diagonais do quadrado são perpendiculares).
Como a soma de ângulos opostos vale , o quadrilátero
é cíclico.
e
Como a soma de ângulos opostos vale
Passo 5
Pelo Teorema de Ptolomeu em
cíclico vale
Substituindo os valores: