No lado AB de um quadrado ABCD , um triângulo retângulo \triangle \mathrm{ABF} (com hipotenusa AB ) é traçado externamente ao quadrado. Se A F=6 e \mathrm{BF}=8, determine EF , onde E é o ponto de encontro das diagonais do quadrado, aplicando o Teorema de Ptolomeu.

Passo 1

Temos um quadrado ABCD de lado AB, sobre cujo lado AB construímos, externamente ao quadrado, o triângulo retângulo \triangle ABF de hipotenusa AB. Sabemos que AF=6 e BF=8. O ponto E é o encontro das diagonais do quadrado. O objetivo é calcular EF usando o Teorema de Ptolomeu em algum quadrilátero cíclico.

Passo 2

Do triângulo retângulo \triangle ABF com hipotenusa AB vale o Teorema de Pitágoras:
AB^2 = AF^2 + BF^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100,
portanto
AB = 10.

Passo 3

No quadrado de lado 10, cada diagonal mede
\text{diagonal} = 10\sqrt2,
e como E é o ponto médio de cada diagonal, temos
AE = BE = \frac{10\sqrt2}{2} = 5\sqrt2.

Passo 4

Observe que em \quadrilateral ABFE temos
\angle AFB = 90^\circ (pois \triangle ABF é retângulo)
e
\angle AEB = 90^\circ (pois as diagonais do quadrado são perpendiculares).
Como a soma de ângulos opostos vale 180^\circ, o quadrilátero ABFE é cíclico.

Passo 5

Pelo Teorema de Ptolomeu em ABFE cíclico vale
AF\cdot BE \;+\; BF\cdot AE \;=\; AB\cdot EF.
Substituindo os valores:
6\cdot (5\sqrt2) \;+\; 8\cdot (5\sqrt2) = 10\cdot EF \quad\Longrightarrow\quad (30\sqrt2 + 40\sqrt2) = 10\,EF
70\sqrt2 = 10\,EF \quad\Longrightarrow\quad EF = \frac{70\sqrt2}{10} = 7\sqrt2.

Resposta

EF = 7\sqrt2

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