Seja ABCD um quadrilátero inscrito em uma circunferência, tal que
\mathrm{AB}=\mathrm{AD}=10 e \mathrm{BD}=5.
Calcule o valor de \frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{CB}+\mathrm{CD}}.

Passo 1

O enunciado descreve um quadrilátero ABCD inscrito numa circunferência, com lados \mathrm{AB}=\mathrm{AD}=10 e diagonal \mathrm{BD}=5. Vamos usar o Teorema de Ptolemy, que relaciona produtos de lados e diagonais em quadriláteros cíclicos.

Passo 2

O Teorema de Ptolemy afirma que, num quadrilátero cíclico,
\mathrm{AB}\cdot \mathrm{CD} \;+\;\mathrm{AD}\cdot \mathrm{BC} \;=\;\mathrm{AC}\cdot \mathrm{BD}.

Passo 3

Denotando \mathrm{BC}=x e \mathrm{CD}=y, substituímos \mathrm{AB}=10, \mathrm{AD}=10 e \mathrm{BD}=5 na identidade de Ptolemy:
10\cdot y \;+\;10\cdot x \;=\;\mathrm{AC}\cdot 5 \quad\Longrightarrow\quad 5\,\mathrm{AC}=10(x+y).

Passo 4

Da igualdade acima isolamos a razão pedida:
\mathrm{AC}=\frac{10(x+y)}{5}=2(x+y) \quad\Longrightarrow\quad \frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{CB}+\mathrm{CD}} =\frac{2(x+y)}{x+y}=2.

Resposta

2

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