(UF-PE) Um armazém de construção precisa entregar 26 toneladas de areia para um construtor. A entrega será efetuada usando os dois caminhões do armazém, um deles com capacidade para transportar 3 toneladas, e o outro com capacidade para 2 toneladas. Se, em cada viagem, os caminhões estiverem preenchidos com sua capacidade máxima, e os dois caminhões forem utilizados na entrega, de quantas maneiras diferentes a entrega pode ser feita?
a) 7
b) 6
c) 5
d) 4
e) 3

Passo 1

O enunciado pede para entregar 26 toneladas de areia usando dois caminhões: um com capacidade de 3 toneladas por viagem e outro com capacidade de 2 toneladas por viagem. Em cada viagem, o caminhão que sair estará carregado com sua capacidade máxima, e ambos os caminhões devem ser utilizados ao longo da entrega. Precisamos determinar de quantas maneiras (combinações de número de viagens de cada caminhão) podemos satisfazer a condição de 3 toneladas por viagem do primeiro e 2 toneladas por viagem do segundo, de modo que o total seja 26 toneladas.

Passo 2

Denotemos por x o número de viagens do caminhão de 3 toneladas e por y o número de viagens do caminhão de 2 toneladas. Como cada viagem entrega exatamente sua capacidade, o total entregue é
3x + 2y = 26
Como cada caminhão deve ser usado pelo menos uma vez, impomos x>=1 e y>=1.

Passo 3

Para resolver
3x + 2y = 26,
isolamos x:
x = 26 - 2y3
Para x ser inteiro, o numerador 26 - 2y deve ser múltiplo de 3. Observamos:
26 bmod 3 = 2,logo 26 - 2y equiv 2 - 2ypmod3
Queremos 2 - 2y equiv 0pmod3, isto é 2y equiv 2pmod3, logo yequiv1pmod3. Assim as soluções candidatas são
y = 1,4,7,10,dots
Verificamos o limite superior pelo requisito x>=1, ou seja 26 - 2y>=3implies2y<=23implies y<=11,5. Então y pode ser 1,4,7,10.

Passo 4

Para cada valor de y calculamos x:
  • Se y=1, então x=(26-2)/3=24/3=8.
  • Se y=4, então x=(26-8)/3=18/3=6.
  • Se y=7, então x=(26-14)/3=12/3=4.
  • Se y=10, então x=(26-20)/3=6/3=2.
Todas as soluções satisfazem x>=1 e y>=1. Portanto existem exatamente 4 combinações possíveis.

Resposta

(d) 4

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