Assinale no plano cartesiano o conjunto no qual estão contidas todas as retas de equação x+y+c=0 com c <=-2.

Passo 1

O enunciado dá a família de retas
x + y + c = 0
com o parâmetro c satisfazendo c <= -2. Queremos encontrar a região do plano que resulta da união de todas essas retas. Vamos usar análise de interceptos e soma das coordenadas para descrever esse conjunto.

Passo 2

Em cada reta podemos isolar y:
y = -x - c
Como c <= -2, temos -c >= 2. Isso significa que cada reta intercepta os eixos nos pontos (-c,0) e (0,-c), cujas coordenadas somam -c + 0 = -c e 0 + (-c) = -c, ou seja, pelo menos 2.

Passo 3

Um ponto (x,y) pertence a uma reta dessa família exatamente quando
x + y = -c
Como -c >= 2, vale toda vez que (x,y) está em alguma reta, temos
x + y >= 2
Reciprocamente, se um ponto (x,y) satisfaz x + y >= 2, podemos escolher c = -(x+y)<= -2 e esse ponto ficará exatamente na reta x+y+c=0. Logo, a união de todas as retas é o semiplano
(x,y)mid x + y >= 2

Resposta

O conjunto procurado é o semiplano fechado dado por
boxedx + y >= 2

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