Augusto aplicou um capital a juros compostos e à taxa de 1,3 % a.m. Qual o prazo da aplicação para que ele receba de juros 60% do capital aplicado?

Passo 1

O enunciado diz que Augusto aplicou um capital P a juros compostos de ,1,3% ao mês e quer saber por quantos meses n o capital deve ficar aplicado para que os juros recebidos sejam iguais a 60% do próprio capital.
Conteúdo: juros compostos e uso de logaritmos para isolar o expoente.

Passo 2

Na capitalização composta o montante M após n períodos é dado por
M = P,(1+i)^n,
onde i é a taxa por período. Os juros acumulados são
J = M - P = Pl((1+i)^n - 1r)

Passo 3

Queremos que esses juros J sejam 60% do capital, ou seja,
Pl((1+i)^n - 1r) = 0,6,P
Cancelando P de ambos os lados:
(1+i)^n - 1 = 0,6 Longrightarrow (1+i)^n = 1,6

Passo 4

Substituindo i = 0,013 (que é 1,3% em forma decimal) e aplicando logaritmo natural em ambos os lados:
n ,ln(1,013) = ln(1,6) Longrightarrow n = ln(1,6)ln(1,013)

Passo 5

Agora basta calcular numericamente:
ln(1,6)approx 0,4700, ln(1,013)approx 0,01291,
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n approx 0,47000,01291approx 36,4

Passo 6

Isso significa que são necessários cerca de 36,4 meses de aplicação. Como normalmente se usa mês inteiro, podemos arredondar para 37 meses.

Resposta

O prazo é de aproximadamente 36,4 meses (ou, arredondando, 37 meses).

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