Determine o polígono convexo cuja soma dos ângulos internos é igual ao número de diagonais multiplicado por 180^circ.

Passo 1

O enunciado pede para achar um polígono convexo de lados cuja soma dos ângulos internos seja igual ao número de diagonais multiplicado por . Vamos usar as fórmulas clássicas de polígono: soma dos ângulos internos e número de diagonais.

Passo 2

Para um polígono convexo de (n - 2)times 180^circ lados, a soma dos ângulos internos é dada por

Passo 3

O número de diagonais de um polígono convexo de n(n - 3)2 lados é

Passo 4

A condição do enunciado é
[
(n - 2)\times 180^\circ

\biggl(\frac{n(n - 3)}{2}\biggr)\times 180^\circ.
]
Podemos simplificar (n - 2)times 180^circ = gl(n(n - 3)2gr)times 180^circ em ambos os lados e obter
n - 2 = n(n - 3)2
Multiplicando ambos os lados por 2,
2n - 4 = n^2 - 3n Longrightarrow n^2 - 5n + 4 = 0

Passo 5

Resolvendo a equação quadrática n = 5 pm raiz25 - 162 = 5 pm 32, , temos
ou seja ou . Como um polígono convexo precisa ter pelo menos 3 lados, a única solução válida é .

Resposta

O polígono convexo procurado é o quadrilátero.

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