Determine o polígono convexo cuja soma dos ângulos internos é igual ao número de diagonais multiplicado por
.
Passo 1
O enunciado pede para achar um polígono convexo de
lados cuja soma dos ângulos internos seja igual ao número de diagonais multiplicado por
. Vamos usar as fórmulas clássicas de polígono: soma dos ângulos internos e número de diagonais.
Passo 2
Para um polígono convexo de
lados, a soma dos ângulos internos é dada por
Passo 3
O número de diagonais de um polígono convexo de
lados é
Passo 4
A condição do enunciado é
[
(n - 2)\times 180^\circ
\biggl(\frac{n(n - 3)}{2}\biggr)\times 180^\circ.
]
]
Podemos simplificar
em ambos os lados e obter
Multiplicando ambos os lados por 2,
Passo 5
Resolvendo a equação quadrática
, temos
ou seja
ou
. Como um polígono convexo precisa ter pelo menos 3 lados, a única solução válida é
.
Resposta
O polígono convexo procurado é o quadrilátero.