Determine o polígono convexo cuja soma dos ângulos internos é igual ao número de diagonais multiplicado por 180^circ.

Passo 1

O enunciado pede para achar um polígono convexo de n lados cuja soma dos ângulos internos seja igual ao número de diagonais multiplicado por 180^circ. Vamos usar as fórmulas clássicas de polígono: soma dos ângulos internos e número de diagonais.

Passo 2

Para um polígono convexo de n lados, a soma dos ângulos internos é dada por
(n - 2)times 180^circ

Passo 3

O número de diagonais de um polígono convexo de n lados é
n(n - 3)2

Passo 4

A condição do enunciado é
(n - 2)times 180^circ = gl(n(n - 3)2gr)times 180^circ
Podemos simplificar 180^circ em ambos os lados e obter
n - 2 = n(n - 3)2
Multiplicando ambos os lados por 2,
2n - 4 = n^2 - 3n Longrightarrow n^2 - 5n + 4 = 0

Passo 5

Resolvendo a equação quadrática n^2 - 5n + 4 = 0, temos
n = 5 pm raiz25 - 162 = 5 pm 32,
ou seja n = 4 ou n = 1. Como um polígono convexo precisa ter pelo menos 3 lados, a única solução válida é n = 4.

Resposta

O polígono convexo procurado é o quadrilátero.

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