Dados dois polígonos com n e n+6 lados, respectivamente, calcule n, sabendo que um dos polígonos tem 39 diagonais mais do que o outro.

Passo 1

O enunciado dá dois polígonos convexos: um com n lados e outro com n+6 lados, e diz que o segundo tem 39 diagonais a mais que o primeiro. Para resolver, vamos usar a fórmula do número de diagonais de um polígono convexo de k lados:
Diagonais(k) = k(k-3)2
Essa fórmula vem do fato de que de cada vértice partem (k-3) diagonais (não se conta a si mesmo nem as arestas adjacentes) e dividimos por 2 para não duplicar o par de vértices.

Passo 2

Escrevendo o número de diagonais de cada polígono:
Diagonais do polígono de (n) lados = n(n-3)2, í
Diagonais do polígono de (n+6) lados = (n+6)l((n+6)-3r)2 = (n+6)(n+3)2 í

Passo 3

Como a diferença entre eles é 39, montamos a equação
(n+6)(n+3)2 ;-;n(n-3)2 ;=;39
Juntando num único quociente:
(n+6)(n+3) - n(n-3)2 = 39
Calculando o numerador:
(n+6)(n+3) - n(n-3) = l(n^2+9n+18r) - l(n^2-3nr) = 12n+18
Logo,
12n + 182 = 39

Passo 4

Simplificando a equação:
12n + 18 = 78 Longrightarrow 12n = 60 Longrightarrow n = 5

Passo 5

Verificação rápida: polígono de 5 lados tem
5cdot22=5 diagonais; de 5+6=11 lados tem
11cdot82=44 diagonais. A diferença é 44-5=39, confere.

Resposta

5

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