Aumentando em 2 m o raio de uma circunferência, em quanto aumentará o seu comprimento? O que ocorre com o comprimento se o raio for aumentado em 3 m ? E se o raio for aumentado a metros?
746. A circunferência C1, de raio R1 e perímetro p1=10^3, é concêntrica à circunferência C2, de raio R2 e perímetro p2=1+10^3. Calcule R2-R1.

Passo 1

O enunciado tem duas partes. A primeira pergunta como varia o comprimento de uma circunferência quando seu raio aumenta em 2 m, em 3 m e em a metros. A segunda (exercício 746) dá duas circunferências concêntricas com perímetros p1=10^3 e p2=1+10^3 e pede R2-R1. Vamos usar a fórmula do comprimento de uma circunferência:
C = 2pi r

Passo 2

Se o raio aumenta de r para r+De<a r, o novo comprimento é
C(r+De<a r)=2pi(r+De<a r)=2pi r+2piDe<a r,
logo o aumento no comprimento é
De<a C = 2pi,De<a r

Passo 3

Aplicando:
- Para De<a r=2: De<a C=2pitimes 2=4pi
- Para De<a r=3: De<a C=2pitimes 3=6pi
- Para De<a r=a: De<a C=2pi,a

Passo 4

No exercício 746 usamos a relação entre perímetro e raio:
r = p2pi

Passo 5

Temos
R1=10^32pi, R2=1+10^32pi,
então
R2-R1=1+10^3 - 10^32pi=12pi

Resposta

Aumentando o raio em 2 m, o comprimento cresce 4pi m.
Aumentando o raio em 3 m, o comprimento cresce 6pi m.
Aumentando o raio em a m, o comprimento cresce 2pi a m.
No exercício 746, R2 - R1 = 12pi

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