A base de uma pirâmide é um triângulo cujos lados medem 13 m, 14 m e 15 m . As três arestas laterais são iguais, medindo cada uma 20 m . Calcule o volume da pirâmide.

Passo 1

Temos uma pirâmide cuja base é um triângulo de lados 13, 14 e 15 metros, e as três arestas laterais medem 20 m cada. Queremos o volume, que é dado por tfrac13times (área da base) times (altura).
Para isso vamos precisar de:
  1. Calcular a área do triângulo base (fórmula de Heron).
  2. Achar o raio R do circuncírculo da base (pois o vértice da pirâmide projeta no circuncentro quando as arestas são iguais).
  3. Determinar a altura h via pitagoriana 20^2=R^2+h^2.
  4. Calcular o volume.

Passo 2

Calculo da área da base por Heron. Primeiro o semiperímetro
s = 13+14+152 = 21
Então
Áreabase = raizs(s-13)(s-14)(s-15) = raiz21cdot8cdot7cdot6 = 84 m^2 Á

Passo 3

O raio do circuncírculo da base é
R = a b c4,Áreabase = 13cdot14cdot154cdot84 = 45556 m Á

Passo 4

A altura h satisfaz
20^2 = R^2 + h^2 Longrightarrow h = raiz400 - l(tfrac45556r)^2 = raiz1,047,3753,136 = raiz1,047,37556 = 15raiz958 m

Passo 5

Agora o volume
V = 13,Áreabase;times h = 13cdot 84cdot 15raiz958 = 28cdot 15raiz958 = 105raiz952 m^3 Á

Resposta

V = 105raiz952 m^3 approx 511,7 m^3

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