Determine a área da base, a área lateral e a área total de uma pirâmide triangular regular, sabendo que a altura e a aresta da base medem 10 cm cada uma.

Passo 1

O enunciado pede a área da base, a área lateral e a área total de uma pirâmide de base triangular regular (isto é, um triângulo equilátero) cujos dados são:
– altura da pirâmide h=10 cm
– aresta da base s=10 cm
Conteúdo: cálculo de área de triângulo equilátero, uso do inradius para achar a geratriz (slant height) e soma das áreas laterais.

Passo 2

A área da base é a área de um triângulo equilátero de lado s, dada por
Abase = raiz34,s^2
Substituindo s=10:
Abase = raiz34,(10)^2 = 25raiz3 cm^2

Passo 3

Para calcular a geratriz (slant height) precisamos do inradius r do triângulo base, que é a distância do centro ao meio de um lado:
r = sraiz36 = 10raiz36 = 5raiz33 cm

Passo 4

A geratriz da pirâmide é a hipotenusa do triângulo retângulo formado pela altura h e pelo inradius r. Logo
l = raizh^2 + r^2 = raiz10^2 + l(tfrac5raiz33r)^2 = raiz100 + tfrac25cdot39 = raiztfrac300+253 = raiztfrac3253 = 5raiz393 cm

Passo 5

A área lateral é a soma das áreas dos três triângulos isósceles de base s e altura l:
Alat = 3 times 12,s,l = 32cdot 10 cdot 5raiz393 = 25raiz39 cm^2

Passo 6

A área total é a soma da área da base com a área lateral:
Atot = Abase + Alat = 25raiz3 + 25raiz39 = 25l(raiz3 + raiz39r) cm^2

Resposta

Área da base: 25raiz3 cm^2
Área lateral: 25raiz39 cm^2
Área total: 25l(raiz3+raiz39r) cm^2

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