12.3.9 (a) Para
f(x)= \begin{cases}+1, & 0<x<1 \\\\ -1, & -1<x<0\end{cases}
mostre que
\int_{-1}^{1}[f(x)]^{2} d x=2 \sum_{n=0}^{\infty}(4 n+3)\left[\frac{(2 n-1)!!}{(2 n+2)!!}\right]^{2}
(b) Testando a série, prove que ela é convergente.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= \begin{cases} +1,&0<x<1,\\\\ -1,&-1<x<0, \end{cases}
e pede (a) mostrar que
\int_{-1}^{1}[f(x)]^{2}\,dx =2\sum_{n=0}^{\infty}(4n+3)\Bigl[\frac{(2n-1)!!}{(2n+2)!!}\Bigr]^{2},
e (b) provar que essa série converge.
O que vamos usar é a expansão de f em polinômios de Legendre, a ortogonalidade
\int_{-1}^{1}P_{k}(x)P_{\ell}(x)\,dx=\frac{2}{2k+1}\,\delta_{k\ell},
e o teorema de Parseval para séries de Legendre.

Passo 2

Como f é função ímpar, só aparecem termos de grau ímpar na série de Legendre:
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{2n+1}\,P_{2n+1}(x).
Os coeficientes são dados por
a_{k}=\frac{2k+1}{2}\int_{-1}^{1}f(x)\,P_{k}(x)\,dx.
Para k=2n+1, a integranda f(x)P_{2n+1}(x) é par, logo
a_{2n+1} =\frac{4n+3}{2}\cdot 2\int_{0}^{1}1\cdot P_{2n+1}(x)\,dx =(4n+3)\int_{0}^{1}P_{2n+1}(x)\,dx.
É conhecido (ou obtido por recorrência) que, para n\ge0,
\int_{0}^{1}P_{2n+1}(x)\,dx =(-1)^{n}\,\frac{(2n-1)!!}{(2n+2)!!}.
Portanto
a_{2n+1}^{2} =(4n+3)^{2}\, \Bigl[\frac{(2n-1)!!}{(2n+2)!!}\Bigr]^{2}.

Passo 3

Aplicando Parseval para séries de Legendre, temos
\int_{-1}^{1}f(x)^{2}\,dx =\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}^{2}\,\frac{2}{2k+1} =\sum_{n=0}^{\infty}a_{2n+1}^{2}\,\frac{2}{4n+3}.
Substituindo a_{2n+1}^{2},
\int_{-1}^{1}f(x)^{2}\,dx =\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2}{4n+3}\, (4n+3)^{2}\, \Bigl[\frac{(2n-1)!!}{(2n+2)!!}\Bigr]^{2} =2\sum_{n=0}^{\infty}(4n+3)\Bigl[\frac{(2n-1)!!}{(2n+2)!!}\Bigr]^{2}.
Isso prova a parte (a).

Passo 4

Note finalmente que diretamente
\int_{-1}^{1}f(x)^{2}\,dx =\int_{-1}^{1}1\,dx =2,
de modo que a identidade acima de fato dá
2 =2\sum_{n=0}^{\infty}(4n+3)\Bigl[\frac{(2n-1)!!}{(2n+2)!!}\Bigr]^{2}.

Passo 5

Para (b), examinamos o termo geral
t_{n}=(4n+3)\Bigl[\frac{(2n-1)!!}{(2n+2)!!}\Bigr]^{2}.
Usando fatoriais duplos em termos de fatoriais comuns e a fórmula de Stirling, mostra-se que, quando n\to\infty,
\frac{(2n-1)!!}{(2n+2)!!} =\frac{(2n)!}{2^{n}n!\,2^{n+1}(n+1)!} \sim\frac{C}{n^{3/2}} \quad\Longrightarrow\quad t_{n}\sim\frac{\mathrm{const}}{n^{2}}.
Como \sum1/n^{2} converge, a série de t_{n} também converge.

Resposta

(a) Vimos que, pela expansão em Legendre e Parseval,
\int_{-1}^{1}f(x)^{2}\,dx =2\sum_{n=0}^{\infty}(4n+3)\Bigl[\frac{(2n-1)!!}{(2n+2)!!}\Bigr]^{2}.
(b) Pelo comportamento assintótico t_{n}=O(1/n^{2}), a série converge.

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