12.3.9 (a) Para
mostre que
(b) Testando a série, prove que ela é convergente.
Passo 1
O enunciado define a função
e pede (a) mostrar que
e (b) provar que essa série converge.
O que vamos usar é a expansão de em polinômios de Legendre, a ortogonalidade
O que vamos usar é a expansão de
e o teorema de Parseval para séries de Legendre.
Passo 2
Como
é função ímpar, só aparecem termos de grau ímpar na série de Legendre:
Os coeficientes são dados por
Para
, a integranda
é par, logo
É conhecido (ou obtido por recorrência) que, para
,
Portanto
Passo 3
Aplicando Parseval para séries de Legendre, temos
Substituindo
,
Isso prova a parte (a).
Passo 4
Note finalmente que diretamente
de modo que a identidade acima de fato dá
Passo 5
Para (b), examinamos o termo geral
Usando fatoriais duplos em termos de fatoriais comuns e a fórmula de Stirling, mostra-se que, quando
,
Como
converge, a série de
também converge.
Resposta
(a) Vimos que, pela expansão em Legendre e Parseval,
(b) Pelo comportamento assintótico
, a série converge.