12.3.4 Nêutrons (massa 1) são espalhados por um núcleo de massa A(A>1). No sistema de centro de massa, o espalhamento é isotrópico é isotrópico. Então, no sistema de laboratório, a média do co-seno do ângulo de deflexão do nêutron é
\langle\cos \psi\rangle=\frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} \frac{A \cos \theta+1}{\left(A^{2}+2 A \cos \theta+1\right)^{1 / 2}} \operatorname{sen} \theta d \theta
Mostre, por expansão do denominador, que \langle\cos \psi\rangle=2 / 3 A.

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos calcular
\langle\cos\psi\rangle=\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\frac{A\cos\theta+1}{\sqrt{A^{2}+2A\cos\theta+1}}\sin\theta\,d\theta
fazendo a mudança de variável x=\cos\theta. Note que \sin\theta\,d\theta=-dx e quando \theta vai de 0 a \pi, x vai de 1 a -1. Isso dá
\langle\cos\psi\rangle =\frac{1}{2}\int_{1}^{-1}\frac{A x+1}{\sqrt{A^{2}+2Ax+1}}(-dx) =\frac{1}{2}\int_{-1}^{1}\frac{A x+1}{\sqrt{A^{2}+2Ax+1}}\,dx.

Passo 2

Fatoramos A^{2} debaixo da raiz:
\sqrt{A^{2}+2Ax+1} =A\sqrt{1+\frac{2x}{A}+\frac{1}{A^{2}}} =A\,\sqrt{1+\varepsilon}, \quad\text{onde}\quad \varepsilon=\frac{2x}{A}+\frac{1}{A^{2}}.
Então
\frac{1}{\sqrt{A^{2}+2Ax+1}} =\frac{1}{A}\,(1+\varepsilon)^{-1/2}.

Passo 3

Usamos a expansão binomial para (1+\varepsilon)^{-1/2} válida quando \varepsilon é pequeno (i.e. ordem 1/A):
(1+\varepsilon)^{-1/2} =1-\frac{\varepsilon}{2}+O(\varepsilon^{2}) =1-\frac{1}{2}\Bigl(\frac{2x}{A}+\frac{1}{A^{2}}\Bigr)+O\Bigl(\frac{1}{A^{2}}\Bigr) =1-\frac{x}{A}-\frac{1}{2A^{2}}+O\Bigl(\frac{1}{A^{2}}\Bigr).

Passo 4

No integrando temos
\frac{A x+1}{\sqrt{A^{2}+2Ax+1}} =(A x+1)\,\frac{1}{A}\bigl(1-\tfrac{x}{A}+O(\tfrac{1}{A^{2}})\bigr) =x+\frac{1}{A} -\frac{x^{2}}{A}+O\Bigl(\frac{1}{A^{2}}\Bigr) =x+\frac{1-x^{2}}{A}+O\Bigl(\frac{1}{A^{2}}\Bigr).
Portanto
\langle\cos\psi\rangle =\frac{1}{2}\int_{-1}^{1}\Bigl[x+\frac{1-x^{2}}{A}+O\bigl(\tfrac{1}{A^{2}}\bigr)\Bigr]dx.

Passo 5

Agora integramos termo a termo em x\in[-1,1]:
\int_{-1}^{1}x\,dx=0, \qquad \int_{-1}^{1}(1-x^{2})\,dx =\Bigl[x-\tfrac{x^{3}}{3}\Bigr]_{-1}^{1} =\bigl(1-\tfrac{1}{3}\bigr)-\bigl(-1+\tfrac{1}{3}\bigr) =\frac{4}{3}.
Logo
\langle\cos\psi\rangle =\frac{1}{2}\Bigl[0+\frac{1}{A}\cdot\frac{4}{3}\Bigr] =\frac{2}{3A}.

Resposta

\displaystyle \langle\cos\psi\rangle=\frac{2}{3A}.

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