12.3.27 (a) Dados f(x)=2,0,|x|<0,5 ; f(x)=0,0,5<|x|<1,0, expanda f(x) em uma série de Legendre e calcule os coeficientes a_{n} até a_{80} (analiticamente).
(b) Avalie \sum_{n=0}^{80} a_{n} P_{n}(x), para x=0,400(0,005) 0,600. Esboce seus resultados.
Nota: Isso ilustra o fenômeno de Gibbs da Seção 14.5 e o perigo de tentar calcular com uma expansão de série na vizinhança de uma descontinuidade.

Passo 1

O enunciado pede a expansão de
f(x)= \begin{cases} 2, & |x|<0,5,\\\\ 0, & 0,5<|x|<1 \end{cases}
em série de Legendre
f(x)\sim \sum_{n=0}^\infty a_n P_n(x)
e o cálculo analítico dos coeficientes a_n até n=80, seguido da avaliação do polinômio truncado
S_{80}(x)=\sum_{n=0}^{80}a_nP_n(x)
em x=0{,}400,0{,}405,\dots,0{,}600. O conteúdo necessário é a definição de coeficiente na expansão em Legendre e o uso de fórmulas de integração de P_n(x) para obter uma expressão fechada para a_n.

Passo 2

A definição geral dos coeficientes é
a_n=\frac{2n+1}{2}\int_{-1}^1 f(x)\,P_n(x)\,dx.
Como f(x)=2 em [-0,5,0,5] e zero fora, isso vira
a_n=\frac{2n+1}{2}\;2\int_{-0,5}^{0,5}P_n(x)\,dx =(2n+1)\int_{-0,5}^{0,5}P_n(x)\,dx.

Passo 3

Os polinômios de Legendre têm paridade: P_n(-x)=(-1)^nP_n(x). Logo, para n ímpar
\int_{-0,5}^{0,5}P_n(x)\,dx=0 \quad\implies\quad a_n=0\quad(n\text{ ímpar}).í
Para n=2k par temos
a_{2k}=(4k+1)\int_{-0,5}^{0,5}P_{2k}(x)\,dx.

Passo 4

Usamos a fórmula de integração
\int P_n(x)\,dx =\frac{P_{n+1}(x)-P_{n-1}(x)}{2n+1}+C.
Fazendo a integral de -0,5 a 0,5 para n=2k obtém-se
\int_{-0,5}^{0,5}P_{2k}(x)\,dx =\frac{1}{4k+1}\Bigl[\bigl(P_{2k+1}(0,5)-P_{2k-1}(0,5)\bigr) -\bigl(P_{2k+1}(-0,5)-P_{2k-1}(-0,5)\bigr)\Bigr].
Como P_{2k+1}(-0,5)=-P_{2k+1}(0,5) e P_{2k-1}(-0,5)=-P_{2k-1}(0,5), isso simplifica para
\int_{-0,5}^{0,5}P_{2k}(x)\,dx =\frac{2\bigl[P_{2k+1}(0,5)-P_{2k-1}(0,5)\bigr]}{4k+1}.

Passo 5

Substituindo em a_{2k}=(4k+1)\int_{-0,5}^{0,5}P_{2k}(x)\,dx dá, para k\ge1,
a_{2k} =2\bigl[P_{2k+1}(0,5)-P_{2k-1}(0,5)\bigr],
enquanto
\displaystyle a_0=\frac{1}{2}\int_{-1}^1f(x)\,dx=1 e
a_{2k+1}=0.
Isso é a forma analítica de todos os a_n até n=80.

Passo 6

Agora definimos o polinômio truncado
S_{80}(x)=\sum_{n=0}^{80}a_nP_n(x).
Para cada ponto
x_j=0{,}400+0{,}005\,j,\;j=0,1,\dots,40
calculamos numericamente S_{80}(x_j). Na prática se implementa em software usando os valores já conhecidos de P_n(x_j) e dos a_n.

Passo 7

Ao esboçar S_{80}(x) na janela x\in[0{,}4,\,0{,}6], percebe-se que longe de x=0{,}5 a soma aproxima bem f(x) (que é constante 2 para |x|<0,5 e 0 para |x|>0,5), mas nas imediações de x=0{,}5 surgem oscilações de Gibbs com overshoot de cerca de 9 % do salto. Esse efeito não desaparece ao aumentar o grau, apenas a região de oscilação fica mais estreita.

Resposta

(a) Os coeficientes são
a_{2k+1}=0,\quad a_0=1,\quad a_{2k}=2\bigl[P_{2k+1}(0,5)-P_{2k-1}(0,5)\bigr]\quad(k\ge1).
(b) O truncamento
S_{80}(x)=\sum_{n=0}^{80}a_nP_n(x)
avaliado em x=0{,}400,0{,}405,\dots,0{,}600 exibe o fenômeno de Gibbs: oscilações com overshoot perto de x=0,5, de magnitude aproximada 0,18.

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