12.3.27 (a) Dados f(x)=2,0,|x|<0,5 ; f(x)=0,0,5<|x|<1,0, expanda f(x) em uma série de Legendre e calcule os coeficientes a_{n} até a_{80} (analiticamente).
(b) Avalie \sum_{n=0}^{80} a_{n} P_{n}(x), para x=0,400(0,005) 0,600. Esboce seus resultados.
Nota: Isso ilustra o fenômeno de Gibbs da Seção 14.5 e o perigo de tentar calcular com uma expansão de série na vizinhança de uma descontinuidade.
e o cálculo analítico dos coeficientes a_n até n=80, seguido da avaliação do polinômio truncado
S_{80}(x)=\sum_{n=0}^{80}a_nP_n(x)
em x=0{,}400,0{,}405,\dots,0{,}600. O conteúdo necessário é a definição de coeficiente na expansão em Legendre e o uso de fórmulas de integração de P_n(x) para obter uma expressão fechada para a_n.
Substituindo em a_{2k}=(4k+1)\int_{-0,5}^{0,5}P_{2k}(x)\,dx dá, para k\ge1,
a_{2k} =2\bigl[P_{2k+1}(0,5)-P_{2k-1}(0,5)\bigr],
enquanto \displaystyle a_0=\frac{1}{2}\int_{-1}^1f(x)\,dx=1 e a_{2k+1}=0.
Isso é a forma analítica de todos os a_n até n=80.
Passo 6
Agora definimos o polinômio truncado
S_{80}(x)=\sum_{n=0}^{80}a_nP_n(x).
Para cada ponto x_j=0{,}400+0{,}005\,j,\;j=0,1,\dots,40
calculamos numericamente S_{80}(x_j). Na prática se implementa em software usando os valores já conhecidos de P_n(x_j) e dos a_n.
Passo 7
Ao esboçar S_{80}(x) na janela x\in[0{,}4,\,0{,}6], percebe-se que longe de x=0{,}5 a soma aproxima bem f(x) (que é constante 2 para |x|<0,5 e 0 para |x|>0,5), mas nas imediações de x=0{,}5 surgem oscilações de Gibbs com overshoot de cerca de 9 % do salto. Esse efeito não desaparece ao aumentar o grau, apenas a região de oscilação fica mais estreita.