12.3.13 Uma esfera condutora de raio
é colocada em um campo elétrico inicialmente uniforme,
. Mostre o seguinte:
(a) A densidade de carga superficial induzida é
(b) O momento de dipolo elétrico induzido é
O momento de dipolo elétrico induzido pode ser calculado pela carga superficial [parte (a)] ou observando que o campo elétrico final
é o resultado da sobreposição de um campo de dipolo ao campo uniforme original.
(a) A densidade de carga superficial induzida é
Passo 1
O enunciado trata de uma esfera condutora de raio
imersa em um campo elétrico uniforme
. Como a esfera é condutora, o potencial elétrico interno é constante e a superfície carregará uma densidade superficial
de modo a anular o campo dentro do condutor. Para resolver, vamos:
- determinar o potencial externo
pela solução da equação de Laplace em coordenadas esféricas com simetria azimutal; - usar o fato de que o salto do campo normal na superfície dá
; - calcular o momento de dipolo induzido tanto pela integral de
quanto comparando o termo dipolar do potencial assintótico.
Passo 2
A solução geral da equação de Laplace com simetria em
e somente dependência em
é, para
,
Em
queremos
, logo
. Na superfície condutora
, daí
Portanto
Passo 3
A densidade superficial é dada por
já que
. E
avaliado em
:
Logo
Passo 4
Para o momento de dipolo
podemos usar a definição
Como somente a componente ao longo de
(eixo
) não se anula, chama-se
. Num cálculo direto aparece
Alternativamente, nota-se que, para
, o potencial dipolar é
e comparando com o termo em
de
acima também dá
.
Resposta
(a)
.
(b) .
(b)