12.3.13 Uma esfera condutora de raio r_{0} é colocada em um campo elétrico inicialmente uniforme, \mathbf{E}_{0}. Mostre o seguinte:
(a) A densidade de carga superficial induzida é
\sigma=3 \varepsilon_{0} E_{0} \cos \theta
(b) O momento de dipolo elétrico induzido é
P=4 \pi r_{0}^{3} \varepsilon_{0} E_{0}
O momento de dipolo elétrico induzido pode ser calculado pela carga superficial [parte (a)] ou observando que o campo elétrico final \mathbf{E} é o resultado da sobreposição de um campo de dipolo ao campo uniforme original.

Passo 1

O enunciado trata de uma esfera condutora de raio r_{0} imersa em um campo elétrico uniforme \mathbf{E}_{0}. Como a esfera é condutora, o potencial elétrico interno é constante e a superfície carregará uma densidade superficial \sigma(\theta) de modo a anular o campo dentro do condutor. Para resolver, vamos:
  1. determinar o potencial externo \Phi(r,\theta) pela solução da equação de Laplace em coordenadas esféricas com simetria azimutal;
  2. usar o fato de que o salto do campo normal na superfície dá \sigma;
  3. calcular o momento de dipolo induzido tanto pela integral de \sigma quanto comparando o termo dipolar do potencial assintótico.

Passo 2

A solução geral da equação de Laplace com simetria em \varphi e somente dependência em \cos\theta é, para r\ge r_{0},
\Phi(r,\theta)=\bigl(A\,r + B\,r^{-2}\bigr)\cos\theta.
Em r\to\infty queremos \Phi\to -E_{0}\,r\cos\theta, logo A=-E_{0}. Na superfície condutora \Phi(r_{0},\theta)=0, daí
-E_{0}\,r_{0}\cos\theta + B\,r_{0}^{-2}\cos\theta = 0 \quad\Longrightarrow\quad B = E_{0}\,r_{0}^{3}.
Portanto
\Phi(r,\theta) = -E_{0}\Bigl(r - \frac{r_{0}^{3}}{r^{2}}\Bigr)\cos\theta.

Passo 3

A densidade superficial é dada por
\sigma = \varepsilon_{0}\,\bigl(E_{r,\text{out}} - E_{r,\text{in}}\bigr) =\varepsilon_{0}\,E_{r,\text{out}}
já que E_{\text{in}}=0. E E_{r,\text{out}}=-\partial\Phi/\partial r avaliado em r=r_{0}:
E_{r}(r_{0},\theta) = -\frac{\partial}{\partial r}\Bigl[-E_{0}\bigl(r-\tfrac{r_{0}^{3}}{r^{2}}\bigr)\cos\theta\Bigr]_{r=r_{0}} =3\,E_{0}\cos\theta.
Logo
\sigma(\theta) = \varepsilon_{0}\,3\,E_{0}\cos\theta =3\,\varepsilon_{0}\,E_{0}\cos\theta.

Passo 4

Para o momento de dipolo \mathbf{p} podemos usar a definição
\mathbf{p} = \int_{\text{superf}} \mathbf{r}'\,\sigma(\theta)\,dA.
Como somente a componente ao longo de \mathbf{E}_{0} (eixo z) não se anula, chama-se p = p_{z}. Num cálculo direto aparece
p = \int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{\pi} \bigl(r_{0}\cos\theta\bigr)\, \bigl(3\varepsilon_{0}E_{0}\cos\theta\bigr)\, \bigl(r_{0}^{2}\sin\theta\,d\theta\,d\varphi\bigr) =4\pi\,\varepsilon_{0}\,r_{0}^{3}\,E_{0}.
Alternativamente, nota-se que, para r\gg r_{0}, o potencial dipolar é
\Phi_{\text{dip}}(r,\theta) =\frac{p\cos\theta}{4\pi\varepsilon_{0}\,r^{2}},
e comparando com o termo em r^{-2} de \Phi acima também dá p=4\pi\varepsilon_{0}r_{0}^{3}E_{0}.

Resposta

(a) \displaystyle \sigma(\theta)=3\,\varepsilon_{0}\,E_{0}\cos\theta.
(b) \displaystyle P =4\pi\,\varepsilon_{0}\,r_{0}^{3}\,E_{0}.

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