12.3.7 Derive a relação de recorrência
pela função geradora de polinômios de Legendre.
Passo 1
O enunciado pede para, a partir da função geradora dos polinômios de Legendre,
deduzir a relação de recorrência
Vamos explorar derivadas de
em relação a
e a
, obter duas relações envolvendo
e
, e depois eliminá-las para chegar ao resultado.
Passo 2
Diferenciando
em relação a
temos
Por outro lado,
Logo
Passo 3
Diferenciando
em relação a
obtemos
Mas também
ou seja,
Passo 4
Comparemos as expressões de Passo
e Passo
. Da Passo
temos
multiplicando por
dá
Igualando coeficientes de
para
, obtemos
Chame-mos esta equação de (A).
Passo 5
Multiplicando a série de Passo
por
temos
Expandindo o lado esquerdo e igualando coeficientes de
para
surge
Agora use a relação (A) para
:
ou seja
. Substituindo nessa última, obtemos
Chame-mos essa equação de (B).
Passo 6
Agora resolvemos o sistema linear em
:
\quad
\quad
De
temos
. Substituindo em
e multiplicando tudo por
:
Multiplicando por
obtemos exatamente