12.3.7 Derive a relação de recorrência
\left(1-x^{2}\right) P_{n}^{\prime}(x)=n P_{n-1}(x)-n x P_{n}(x)
pela função geradora de polinômios de Legendre.

Passo 1

O enunciado pede para, a partir da função geradora dos polinômios de Legendre,
G(x,t)=\sum_{n=0}^{\infty}P_{n}(x)\,t^{n}=\frac{1}{\sqrt{1-2x t+t^{2}}},
deduzir a relação de recorrência
(1-x^{2})P_{n}^{\prime}(x)=n\,P_{n-1}(x)-n\,x\,P_{n}(x).
Vamos explorar derivadas de G em relação a x e a t, obter duas relações envolvendo P_{n}^{\prime} e P_{n}, e depois eliminá-las para chegar ao resultado.

Passo 2

Diferenciando G em relação a x temos
\frac{\partial G}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(1-2xt+t^{2}\bigr)^{-1/2} =-\tfrac12(1-2xt+t^{2})^{-3/2}\,(-2t) =t\,(1-2xt+t^{2})^{-3/2}.
Por outro lado,
\frac{\partial G}{\partial x} =\sum_{n=0}^{\infty}P_{n}^{\prime}(x)\,t^{n}.
Logo
\sum_{n=0}^{\infty}P_{n}^{\prime}(x)\,t^{n} = t\,(1-2xt+t^{2})^{-3/2}.

Passo 3

Diferenciando G em relação a t obtemos
\frac{\partial G}{\partial t} =\frac{\partial}{\partial t}\bigl(1-2xt+t^{2}\bigr)^{-1/2} =-\tfrac12(1-2xt+t^{2})^{-3/2}\,(-2x+2t) =(x-t)\,(1-2xt+t^{2})^{-3/2}.
Mas também
\frac{\partial G}{\partial t} =\sum_{n=0}^{\infty}n\,P_{n}(x)\,t^{\,n-1},
ou seja,
\sum_{n=0}^{\infty}n\,P_{n}(x)\,t^{n} =t\,(x-t)\,(1-2xt+t^{2})^{-3/2}.

Passo 4

Comparemos as expressões de Passo 2 e Passo 3. Da Passo 2 temos
\sum_{n=0}^{\infty}P_{n}^{\prime}t^{n} = t\,(1-2xt+t^{2})^{-3/2},
multiplicando por (x-t)
(x-t)\sum_{n=0}^{\infty}P_{n}^{\prime}t^{n} = t\,(x-t)\,(1-2xt+t^{2})^{-3/2} =\sum_{n=0}^{\infty}n\,P_{n}(x)\,t^{n}.
Igualando coeficientes de t^{n} para n\ge1, obtemos
x\,P_{n}^{\prime}(x)-P_{n-1}^{\prime}(x)=n\,P_{n}(x).
Chame-mos esta equação de (A).

Passo 5

Multiplicando a série de Passo 2 por (1-2xt+t^{2}) temos
(1-2xt+t^{2})\sum_{n=0}^{\infty}P_{n}^{\prime}t^{n} = t\,(1-2xt+t^{2})^{-1/2} = t\,G(x,t) =\sum_{n=0}^{\infty}P_{n-1}(x)\,t^{n}.
Expandindo o lado esquerdo e igualando coeficientes de t^{n} para n\ge2 surge
P_{n}^{\prime}-2x\,P_{n-1}^{\prime}+P_{n-2}^{\prime} = P_{n-1}.
Agora use a relação (A) para n\to n-1:
x\,P_{n-1}^{\prime}-P_{n-2}^{\prime}=(n-1)P_{n-1},
ou seja P_{n-2}^{\prime}=x\,P_{n-1}^{\prime}-(n-1)P_{n-1}. Substituindo nessa última, obtemos
P_{n}^{\prime}-x\,P_{n-1}^{\prime}=n\,P_{n-1}(x).
Chame-mos essa equação de (B).

Passo 6

Agora resolvemos o sistema linear em \{P_{n}^{\prime},P_{n-1}^{\prime}\}:
(A)\; x\,P_{n}^{\prime}-P_{n-1}^{\prime}=n\,P_{n},
\quad
(B)\; P_{n}^{\prime}-x\,P_{n-1}^{\prime}=n\,P_{n-1}.
De (B) temos P_{n-1}^{\prime}=(P_{n}^{\prime}-n\,P_{n-1})/x. Substituindo em (A) e multiplicando tudo por x:
x^{2}P_{n}^{\prime}-\bigl(P_{n}^{\prime}-n\,P_{n-1}\bigr) =n\,x\,P_{n} \;\Longrightarrow\; (x^{2}-1)P_{n}^{\prime}=n\,x\,P_{n}-n\,P_{n-1}.
Multiplicando por -1 obtemos exatamente
(1-x^{2})\,P_{n}^{\prime}(x) = n\,P_{n-1}(x) \;-\; n\,x\,P_{n}(x).

Resposta

(1-x^{2})\,P_{n}^{\prime}(x) = n\,P_{n-1}(x) - n\,x\,P_{n}(x).

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