(Bélgica-2001) Se x é um número primo e x^2+y^2=z^2, onde x, y, z in N0, então y=
a) (x^2-1) / 2
b) (x^2+1) / 2
c) x
d) x^2-1

Passo 1

O enunciado diz que x é um número primo e que existem y,zinN0 tais que
x^2 + y^2 = z^2
Isso caracteriza um triângulo retângulo com catetos x,y e hipotenusa z. Vamos usar a fórmula geral para todos os ternos pitagóricos primitivos para identificar y.

Passo 2

Todo terno pitagórico primitivo pode ser escrito, para inteiros m>n>0 coprimos e de paridade oposta, como
catetos: m^2-n^2, 2mn, hipotenusa: m^2+n^2
Aqui x deve ser um dos catetos, ou seja, ou
x = m^2-n^2, ou x = 2mn

Passo 3

Como x é primo, examinamos as duas possibilidades:
  • Se x = 2mn, então x é par. O único primo par é 2, e para 2=2mn teríamos mn=1, o que implica m=n=1, violando m>n. Logo essa opção não serve.
  • Se x = m^2-n^2 = (m-n)(m+n), como x é primo, devemos ter m-n=1 e m+n=x. Daí
m = x+12, n = x-12

Passo 4

Nesse caso, o outro cateto é
y = 2mn = 2cdotx+12cdotx-12 = (x+1)(x-1)2 = x^2-12

Resposta

a) dfracx^2-12

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