(OBM-81 banco) Se é um número não primo, prove que ( )! é múltiplo de .
Passo 1
O enunciado pede que, para todo inteiro composto n>4, mostremos que (n-1)! é múltiplo de n. O que vamos precisar: fatoração de inteiros, argumentos de divisibilidade e, no caso de n ser potência de primo, a fórmula de Legendre para o expoente de um primo em um fatorial.
Passo 2
Como n é composto, existe uma fatoração não trivial
n = dcdot m,
com 1<d<= m<n. Se dneq m, então ambos d e m pertencem ao conjunto 2,3,dots,n-1. Mas (n-1)! contém todos os inteiros de 1 até n-1 como fatores, logo contém simultaneamente d e m. Portanto
dcdot m = n Longrightarrow n mid (n-1)!
Passo 3
O único caso em que não há dois divisores distintos dneq m é quando n é uma potência de primo, digamos
n = p^k, k>=2
Como n>4, não pode ocorrer p=2 e k=2 (pois isso daria n=4). Logo ou p>=3 ou k>=3.
Passo 4
Para mostrar que p^kmid (n-1)! usamos a fórmula de Legendre: o expoente de p em (n-1)! é
vp((n-1)!) ;=;sumi=1^inftylfloorn-1p^irfloor
Substituindo n=p^k obtemos, após somar a série,
vp((p^k-1)!) ;=;p^k-1p-1;-;k
Basta então notar que, se p>=3 ou k>=3, vale
p^k-1p-1;-;k ;>=; k,
o que implica vp((n-1)!)>= k e, consequentemente,
p^k mid (n-1)!
Resposta
Em ambos os casos—fatores distintos ou potência de primo—concluímos que nmid(n-1)!. Portanto, para todo n>4 composto, (n-1)! é múltiplo de n.
Cálculo - Marcelo Rufino de Oliveira - Elementos da Matemática - Vol 1 - 3ª Edição - Capítulo 6.Exercícios - Ex. 24