(Bélgica-96) Um hexágono regular está inscrito em um círculo de raio R. O comprimento da diagonal que não contém o centro do círculo é igual a:
a) \mathrm{R} \sqrt{2}
b) 3 R / 2
c) R \sqrt{3}
d) 2 R

Passo 1

O enunciado diz que temos um hexágono regular inscrito num círculo de raio R e pede o comprimento da diagonal que não passa pelo centro do círculo. O tema aqui é geometria de círculos e hexágonos regulares, em especial comprimento de cordas em função do ângulo central.

Passo 2

Em qualquer círculo de raio R, o comprimento de uma corda cujo ângulo central correspondente mede \theta satisfaz a fórmula
\text{corda} = 2R\sin\bigl(\tfrac{\theta}{2}\bigr).

Passo 3

Num hexágono regular, os vértices estão espaçados de 60^\circ em 60^\circ ao redor do centro. A diagonal que não contém o centro liga vértices com um salto de uma posição entre eles, ou seja, está subtendida por um ângulo central de
\theta = 2\times 60^\circ = 120^\circ.

Passo 4

Aplicando a fórmula de comprimento de corda com \theta = 120^\circ, temos
\text{diagonal} = 2R\sin\bigl(\tfrac{120^\circ}{2}\bigr) = 2R\sin(60^\circ) = 2R\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = R\sqrt{3}.

Resposta

R\sqrt{3}

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