(ITA-2001) De dois poligonos convexos, um tem a mais que outro 6 lados e 39 diagonais. Entalo, a soma total dos números de vértices e de diagonais dos dois poligonos é igual a: \begin{array}{lllll}\text { a) } 53 & \text { b) } 65 & \text { c) } 66 & \text { d) } 70 & \text { e) } 77\end{array}

Passo 1

O enunciado fala de dois polígonos convexos em que um deles tem 6 lados a mais que o outro e, ao mesmo tempo, 39 diagonais a mais que o outro. O conteúdo que vamos usar é a fórmula do número de diagonais de um polígono convexo de n lados:
d(n)=\frac{n(n-3)}{2}.
Precisamos encontrar o número de lados de cada polígono e depois somar o total de vértices (lados) e de diagonais dos dois.

Passo 2

Sejam m o número de lados do polígono menor e m+6 o do polígono maior. As diagonais de cada um são
d(m)=\frac{m(m-3)}{2}, \quad d(m+6)=\frac{(m+6)\bigl((m+6)-3\bigr)}{2}=\frac{(m+6)(m+3)}{2}.
Como o maior tem 39 diagonais a mais que o menor, vale
d(m+6)-d(m)=39.

Passo 3

Calculemos a diferença:
d(m+6)-d(m) =\frac{(m+6)(m+3)-m(m-3)}{2} =\frac{m^2+9m+18 - (m^2-3m)}{2} =\frac{12m+18}{2} =6m+9.
Logo, impomos
6m+9=39 \quad\Longrightarrow\quad 6m=30 \quad\Longrightarrow\quad m=5.

Passo 4

Portanto o polígono menor tem 5 lados e o maior tem 5+6=11 lados. Seus números de diagonais são
d(5)=\frac{5\cdot2}{2}=5, \quad d(11)=\frac{11\cdot8}{2}=44.

Passo 5

Agora somamos vértices e diagonais de ambos:
  • Polígono de 5 lados: vértices 5, diagonais 5.
  • Polígono de 11 lados: vértices 11, diagonais 44.
    Total geral = (5+5)+(11+44)=10+55=65.

Resposta

65

Exercícios de Livros Relacionados