Sobre os lados de um triângulo equilatero de lado a, externamente ao triängulo, constroi-se retångulos iguais dos quais une-se os vértices livres. Calcular as alturas dos retângulos para que o hexágono obtido seja regular.

Passo 1

O enunciado diz que temos um triângulo equilátero de lado a e, em cada um dos lados, construímos externamente retângulos todos com base a e altura h. Os “vértices livres” desses retângulos formam, ao serem ligados, um hexágono. Queremos escolher h de modo que esse hexágono seja regular (seis lados iguais e seis ângulos internos iguais a 120^\circ).

Passo 2

Para tornar o problema concreto, colocamos o triângulo em coordenadas:
A=(0,0),\quad B=(a,0),\quad C=\Bigl(\tfrac{a}{2},\,\tfrac{a\sqrt{3}}{2}\Bigr).
No lado AB erguemos o retângulo “para baixo” (lado externo ao triângulo), de modo que seus vértices livres sejam
P_1=(0,-h),\quad P_2=(a,-h).

Passo 3

De modo análogo, nos lados BC e CA construímos retângulos “para fora” do triângulo. Calculando as normais unitárias externas a BC e a CA, obtemos os vértices livres
P_3=\Bigl(a+\tfrac{\sqrt3}{2}h,\;\tfrac{h}{2}\Bigr),\quad P_4=\Bigl(\tfrac{a}{2}+\tfrac{\sqrt3}{2}h,\;\tfrac{a\sqrt3}{2}+\tfrac{h}{2}\Bigr),
P_5=\Bigl(\tfrac{a}{2}-\tfrac{\sqrt3}{2}h,\;\tfrac{a\sqrt3}{2}+\tfrac{h}{2}\Bigr),\quad P_6=\Bigl(-\tfrac{\sqrt3}{2}h,\;\tfrac{h}{2}\Bigr).
O hexágono vem na ordem P_1P_2P_3P_4P_5P_6.

Passo 4

Calculamos dois comprimentos consecutivos:
  1. P_1P_2 é trivialmente a base do retângulo em AB, logo
P_1P_2 = a.
  1. P_2P_3 sai de (a,-h) até \bigl(a+\tfrac{\sqrt3}{2}h,\tfrac{h}{2}\bigr). Logo
P_2P_3 =\sqrt{\Bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}h\Bigr)^2+\Bigl(h+\tfrac{h}{2}\Bigr)^2} =\sqrt{\tfrac{3}{4}h^2+\tfrac{9}{4}h^2} =\sqrt{3\,h^2} =h\sqrt3.
Num hexágono regular, todos os lados devem ser iguais, isto é,
a = h\sqrt3 \quad\Longrightarrow\quad h = \frac{a}{\sqrt3}.

Resposta

h = \frac{a}{\sqrt3}\quad\Bigl(\text{ou}\;\frac{a\sqrt3}{3}\Bigr).

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