Sobre os lados de um triângulo equilatero de lado a, externamente ao triängulo, constroi-se retångulos iguais dos quais une-se os vértices livres. Calcular as alturas dos retângulos para que o hexágono obtido seja regular.
Passo 1
O enunciado diz que temos um triângulo equilátero de lado
e, em cada um dos lados, construímos externamente retângulos todos com base
e altura
. Os “vértices livres” desses retângulos formam, ao serem ligados, um hexágono. Queremos escolher
de modo que esse hexágono seja regular (seis lados iguais e seis ângulos internos iguais a
).
Passo 2
Para tornar o problema concreto, colocamos o triângulo em coordenadas:
No lado
erguemos o retângulo “para baixo” (lado externo ao triângulo), de modo que seus vértices livres sejam
Passo 3
De modo análogo, nos lados
e
construímos retângulos “para fora” do triângulo. Calculando as normais unitárias externas a
e a
, obtemos os vértices livres
O hexágono vem na ordem
.
Passo 4
Calculamos dois comprimentos consecutivos:
-
é trivialmente a base do retângulo em , logo
-
sai de até . Logo
Num hexágono regular, todos os lados devem ser iguais, isto é,