Une-se os extremos A e B do lado de um pentágono ABCDE inscrito em uma circunferência de raio R ao ponto P, ponto médio do menor arco BC. Prove que:
a)
;
b)
;
a)
b)
Passo 1
O enunciado trata de um pentágono regular
inscrito numa circunferência de raio
. Seja
o ponto médio do menor arco
. Como o pentágono é regular, cada arco entre vértices consecutivos mede
Para resolver, vamos usar a fórmula que dá o comprimento de uma corda em função do ângulo central correspondente: se dois pontos
subtendem no centro
um ângulo
, então
Passo 2
Determine os ângulos centrais relevantes:
– Como é lado do pentágono,
. Sendo
ponto médio desse arco,
– Como
– Como
é outro lado do pentágono,
, portanto
Logo o ângulo central entre
e
é
Passo 3
Use a fórmula da corda para
e
:
Passo 4
(a) Calcule a diferença
:
Use a identidade
Sabendo que
e
, temos
Portanto
Passo 5
(b) Calcule o produto
:
Mas
, logo
(pela mesma conta acima). Assim
Resposta
a)
b)
b)