Une-se os extremos A e B do lado de um pentágono ABCDE inscrito em uma circunferência de raio R ao ponto P, ponto médio do menor arco BC. Prove que:
a) \mathrm{PA}-\mathrm{PB}=\mathrm{R};
b) \mathrm{PA} . \mathrm{PB}=\mathrm{R}^{2};

Passo 1

O enunciado trata de um pentágono regular ABCDE inscrito numa circunferência de raio R. Seja P o ponto médio do menor arco BC. Como o pentágono é regular, cada arco entre vértices consecutivos mede
\frac{360^\circ}{5}=72^\circ.
Para resolver, vamos usar a fórmula que dá o comprimento de uma corda em função do ângulo central correspondente: se dois pontos X,Y subtendem no centro O um ângulo \theta, então
XY=2R\sin\!\bigl(\tfrac{\theta}{2}\bigr).

Passo 2

Determine os ângulos centrais relevantes:
– Como BC é lado do pentágono, \arc{BC}=72^\circ. Sendo P ponto médio desse arco,
\angle BOP=\angle POC=\frac{72^\circ}{2}=36^\circ.
– Como AB é outro lado do pentágono, \arc{AB}=72^\circ, portanto
\angle AOB=72^\circ.
Logo o ângulo central entre P e A é
\angle POA=\angle POB+\angle BOA=36^\circ+72^\circ=108^\circ.

Passo 3

Use a fórmula da corda para PB e PA:
PB=2R\sin\!\bigl(\tfrac{\angle BOP}{2}\bigr) =2R\sin\!\bigl(\tfrac{36^\circ}{2}\bigr) =2R\sin18^\circ,
PA=2R\sin\!\bigl(\tfrac{\angle POA}{2}\bigr) =2R\sin\!\bigl(\tfrac{108^\circ}{2}\bigr) =2R\sin54^\circ.

Passo 4

(a) Calcule a diferença PA-PB:
PA-PB =2R\bigl(\sin54^\circ-\sin18^\circ\bigr).
Use a identidade
\sin54^\circ-\sin18^\circ =2\cos\!\bigl(\tfrac{54^\circ+18^\circ}{2}\bigr)\, \sin\!\bigl(\tfrac{54^\circ-18^\circ}{2}\bigr) =2\cos36^\circ\,\sin18^\circ.
Sabendo que
\sin18^\circ=\tfrac{\sqrt5-1}{4} e \cos36^\circ=\tfrac{\sqrt5+1}{4}, temos
\cos36^\circ\,\sin18^\circ =\frac{\sqrt5+1}{4}\,\frac{\sqrt5-1}{4} =\frac{5-1}{16} =\frac14.
Portanto
PA-PB =2R\cdot2\cos36^\circ\,\sin18^\circ =4R\cdot\frac14 =R.

Passo 5

(b) Calcule o produto PA\cdot PB:
PA\cdot PB =\bigl(2R\sin54^\circ\bigr)\bigl(2R\sin18^\circ\bigr) =4R^2\,\sin54^\circ\,\sin18^\circ.
Mas \sin54^\circ=\cos36^\circ, logo
\sin54^\circ\,\sin18^\circ =\cos36^\circ\,\sin18^\circ =\frac14
(pela mesma conta acima). Assim
PA\cdot PB =4R^2\cdot\frac14 =R^2.

Resposta

a) PA - PB = R
b) PA \cdot PB = R^2

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