Sobre os lados de um hexágono regular, extemamente ao hexágono, constroi-se quadrados. Demonstrar que os vértices livres dos quadrados formam um dodecágono regular.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão pede e o que vamos usar. Temos um hexágono regular A_{0}A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}A_{5} de centro O e lado de comprimento 1. Em cada lado A_{k}A_{k+1} (índices módulo 6) construímos, externamente, um quadrado. Chamamos de “vértices livres” os vértices desses quadrados que não pertencem ao hexágono. Precisamos mostrar que esses 12 vértices livres formam um dodecágono regular. Vamos usar a representação por números complexos no plano, que facilita rotações e translações.
Passo 2
Colocamos o centro do hexágono em O=0 e escolhemos como vértices
A_k = e^{i\,k\pi/3},\quad k=0,1,\dots,5,
de modo que cada lado A_kA_{k+1} tem comprimento \bigl|A_{k+1}-A_k\bigr|=1. A construção de um quadrado sobre o segmento A_kA_{k+1}, “para fora” do hexágono, equivale a tomar aquele vetor e girá-lo de -90^\circ, isto é, multiplicar por -\,i.
Passo 3
Para cada lado A_kA_{k+1} os dois vértices livres são