Sobre os lados de um hexágono regular, extemamente ao hexágono, constroi-se quadrados. Demonstrar que os vértices livres dos quadrados formam um dodecágono regular.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede e o que vamos usar. Temos um hexágono regular A_{0}A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}A_{5} de centro O e lado de comprimento 1. Em cada lado A_{k}A_{k+1} (índices módulo 6) construímos, externamente, um quadrado. Chamamos de “vértices livres” os vértices desses quadrados que não pertencem ao hexágono. Precisamos mostrar que esses 12 vértices livres formam um dodecágono regular. Vamos usar a representação por números complexos no plano, que facilita rotações e translações.

Passo 2

Colocamos o centro do hexágono em O=0 e escolhemos como vértices
A_k = e^{i\,k\pi/3},\quad k=0,1,\dots,5,
de modo que cada lado A_kA_{k+1} tem comprimento \bigl|A_{k+1}-A_k\bigr|=1. A construção de um quadrado sobre o segmento A_kA_{k+1}, “para fora” do hexágono, equivale a tomar aquele vetor e girá-lo de -90^\circ, isto é, multiplicar por -\,i.

Passo 3

Para cada lado A_kA_{k+1} os dois vértices livres são
P_k = A_k \;-\; i\,(A_{k+1}-A_k) \quad\text{e}\quad Q_k = A_{k+1} \;-\; i\,(A_{k+1}-A_k).
Isso coloca sobre cada lado um quadrado de lado 1, girado em sentido horário (externo ao hexágono).

Passo 4

Escrevendo A_k=e^{i\,k\pi/3} e A_{k+1}=e^{i\,(k+1)\pi/3}, tem-se
P_k = e^{i\,k\pi/3}\Bigl[(1+i)\;-\;i\,e^{i\pi/3}\Bigr] \quad\text{e}\quad Q_k = e^{i\,k\pi/3}\Bigl[e^{i\pi/3}(1+i)\;-\;i\Bigr].
Um cálculo direto mostra que ambos os fatores entre colchetes têm o mesmo módulo
R = \bigl|\, (1+i)-i\,e^{i\pi/3}\bigr| = \sqrt{2+\sqrt3},
e que seus argumentos são, respectivamente, \tfrac\pi{12} e \tfrac\pi4. Logo
P_k = R\,e^{\,i\,(k\pi/3 + \pi/12)}, \quad Q_k = R\,e^{\,i\,(k\pi/3 + \pi/4)}.

Passo 5

O conjunto \{P_k,Q_k: k=0,1,\dots,5\} corresponde aos 12 pontos
R\,e^{\,i(\pi/12 + m\pi/6)}, \quad m=0,1,2,\dots,11,
isto é, 12 vértices igualmente espaçados de 30^\circ sobre a circunferência de raio R. Portanto formam um dodecágono regular centrado em O.

Resposta

Os 12 vértices livres estão todos à mesma distância do centro e com argumentos igualmente espaçados de 30^\circ, logo formam um dodecágono regular.

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