A bissetriz interna A D de um triângulo A B C divide o lado oposto em dois segmentos BD e CD de medidas 24 cm e 30 cm , respectivamente. Sendo AB e AC respectivamente iguais a 2 x+6 e 3 x, determine o valor de x e as medidas de AB e AC.
441. A bissetriz externa AS de um triângulo ABC determina sobre o prolongamento do lado BC um segmento CS de medida y. Sendo os lados AB e AC, respectivamente, o triplo e o dobro do menor segmento determinado pela bissetriz interna AP sobre o lado BC que mede 20 cm , determine o valor de y.

Passo 1

O enunciado do primeiro problema nos dá um triângulo ABC em que a bissetriz interna AD divide o lado BC em BD=24 cm e DC=30 cm, e ainda informa que
AB=2x+6, AC=3x
O conteúdo a usar aqui é o Teorema da Bissetriz Interna, que diz que
ABAC=BDDC

Passo 2

Aplicando o Teorema da Bissetriz Interna,
2x+63x=2430=45
Multiplicando em cruz:
5(2x+6)=4cdot3x Longrightarrow 10x+30=12x Longrightarrow 2x=30 Longrightarrow x=15

Passo 3

Substituindo x=15 em AB e AC:
AB=2cdot15+6=36 cm, AC=3cdot15=45 cm

Passo 4

No segundo problema, a bissetriz externa AS intercepta a extensão de BC em S, determinando o segmento CS=y. Sabe– se que, na bissetriz interna AP, o menor dos dois segmentos sobre BC mede 20 cm, e que
AB=3times 20=60 cm, AC=2times 20=40 cm
O conteúdo agora é o Teorema da Bissetriz Externa, que afirma:
BSSC=ABAC

Passo 5

Antes disso, usamos a bissetriz interna para achar BC. Como
BPPC=ABAC=6040=32,
o menor segmento PC=20 cm e o outro é BP=30 cm, logo
BC=BP+PC=30+20=50 cm

Passo 6

Na bissetriz externa temos BS=BC+CS=50+y e SC=y. Logo,
50+yy=6040=32 Longrightarrow 2(50+y)=3y Longrightarrow 100+2y=3y Longrightarrow y=100 cm

Resposta

x=15.
AB=36 cm, AC=45 cm.
y=100 cm.

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