Consideremos um triângulo ABC de 15 cm de perímetro. A bissetriz externa do ângulo A desse triângulo encontra o prolongamento do lado BC em um ponto S . Sabendo que a bissetriz interna do ângulo A determina sobre B C dois segmentos BP e PC de medidas 3 cm e 2 cm , respectivamente, determine as medidas dos lados do triângulo e a medida do segmento CS.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos um triângulo ABC de perímetro 15 cm. A bissetriz interna do ângulo hat A encontra o lado BC em P, com BP=3 cm e PC=2 cm. A bissetriz externa do mesmo ângulo encontra o prolongamento de BC em S. Precisamos determinar as medidas dos lados AB, BC, CA e do segmento CS. Para isso usaremos o teorema da bissetriz interna e o teorema da bissetriz externa.

Passo 2

Chamando
BC = a, CA = b, AB = c,
temos a+b+c=15 e, pela divisão interna de BC em P,
a = BP + PC = 3 + 2 = 5
O teorema da bissetriz interna diz
ABAC = BPPC = 32,
ou seja
cb = 32 e b + c = 15 - a = 10
Da primeira equação c = tfrac32,b. Substituindo em b + c = 10
b + tfrac32,b = 10 ;Longrightarrow; tfrac52,b = 10 ;Longrightarrow; b = 4,
c = tfrac32 cdot 4 = 6
Portanto
BC = a = 5 cm, CA = b = 4 cm, AB = c = 6 cm

Passo 3

Agora a bissetriz externa de hat A divide externamente BC em S, de modo que
BSCS = ABAC = 64 = 32
Como S fica além de C, temos BS = BC + CS = 5 + CS. Logo
5 + CSCS = 32
Resolvendo,
5 + CS = tfrac32,CS Longrightarrow 5 = tfrac32,CS - CS = tfrac12,CS Longrightarrow CS = 10 cm

Resposta

AB = 6 cm, BC = 5 cm, CA = 4 cm e CS = 10 cm.

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