Consideremos um triângulo ABC de 15 cm de perímetro. A bissetriz externa do ângulo desse triângulo encontra o prolongamento do lado em um ponto S . Sabendo que a bissetriz interna do ângulo A determina sobre B C dois segmentos BP e PC de medidas 3 cm e 2 cm , respectivamente, determine as medidas dos lados do triângulo e a medida do segmento CS.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos um triângulo ABC de perímetro 15 cm. A bissetriz interna do ângulo hat A encontra o lado BC em P, com BP=3 cm e PC=2 cm. A bissetriz externa do mesmo ângulo encontra o prolongamento de BC em S. Precisamos determinar as medidas dos lados AB, BC, CA e do segmento CS. Para isso usaremos o teorema da bissetriz interna e o teorema da bissetriz externa.
Passo 2
Chamando
BC = a, CA = b, AB = c,
temos a+b+c=15 e, pela divisão interna de BC em P,
a = BP + PC = 3 + 2 = 5
O teorema da bissetriz interna diz
ABAC = BPPC = 32,
ou seja
cb = 32 e b + c = 15 - a = 10
Da primeira equação c = tfrac32,b. Substituindo em b + c = 10 dá
b + tfrac32,b = 10 ;Longrightarrow; tfrac52,b = 10 ;Longrightarrow; b = 4,
c = tfrac32 cdot 4 = 6
Portanto
BC = a = 5 cm, CA = b = 4 cm, AB = c = 6 cm
Passo 3
Agora a bissetriz externa de hat A divide externamente BC em S, de modo que
BSCS = ABAC = 64 = 32
Como S fica além de C, temos BS = BC + CS = 5 + CS. Logo