As bissetrizes dos ângulos internos  e Ê de um polígono regular ABCDEFG… são perpendiculares. Qual a soma dos ângulos internos desse polígono?

Passo 1

O enunciado diz que num polígono regular ABCDEFldots as bissetrizes dos ângulos internos em A e em E são perpendiculares, e pede a soma dos ângulos internos desse polígono. O conteúdo usado será a relação entre bissetriz interna em polígono regular e centro, além da fórmula da soma dos ângulos internos.

Passo 2

Em todo polígono regular, a bissetriz interna de qualquer vértice coincide com o raio que vai do centro O do polígono até esse vértice. Logo, a bissetriz de widehatA é o segmento OA e a de widehatE é o segmento OE.
Como as bissetrizes em A e em E são perpendiculares, temos
ang<= AOE = 90^circ

Passo 3

Nos polígonos regulares, os vértices estão igualmente espaçados em torno do centro, de modo que o ângulo central entre A e E é
ang<= AOE ;=; kcdot360^circn,
onde k é o número de arcos entre A e E. Como os vértices são A,B,C,D,E, temos k=4.
Igualando ao valor perpendicular:
4cdot360^circn = 90^circ Longrightarrow 1440^circn = 90^circ Longrightarrow n = 16

Passo 4

A soma dos ângulos internos de um polígono de n lados é
(n-2)times 180^circ
Substituindo n=16, vem
(16-2)times 180^circ = 14times 180^circ = 2520^circ

Resposta

A soma dos ângulos internos do polígono é 2520^circ.

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