Quantas medidas, duas a duas diferentes, obtemos quando medimos as diagonais de um:
hexágono regular;

Passo 1

O enunciado pede para determinar quantas medidas diferentes, tomadas duas a duas, surgem ao medir todas as diagonais de um hexágono regular de lado s. O conteúdo envolvido é geometria de polígonos regulares e uso da fórmula de cordas em circunferência.

Passo 2

Num polígono regular de n lados inscrito numa circunferência de raio R, a distância entre dois vértices separados por k posições (ou seja, a corda que subtende um ângulo central de tfrackpin) é
dk = 2R sin!l(tfrackpinr)
No caso do hexágono, n=6.

Passo 3

As diagonais unem vértices não-adjacentes, correspondendo a k=2,3,4. Como
sin(tfrac4pi6)=sin(tfrac2pi6), só há duas comprimentos distintos a considerar:
Para k=2:
d2 = 2R sin!l(tfrac2pi6r) = 2R sin!l(tfracpi3r) = 2R cdot tfracraiz32 = Rraiz3
Para k=3:
d3 = 2R sin!l(tfrac3pi6r) = 2R sin!l(tfracpi2r) = 2R cdot 1 = 2R

Passo 4

Num hexágono regular o raio da circunferência circunscrita é igual ao lado, ou seja, R=s. Assim as diagonais têm exatamente dois comprimentos distintos:
sraiz3 e 2s

Resposta

Duas.

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