Quantas medidas, duas a duas diferentes, obtemos quando medimos as diagonais de um:
octógono regular;

Passo 1

O enunciado pede quantas medidas distintas (duas a duas diferentes) aparecem quando medimos as diagonais de um octógono regular. Aqui vamos usar geometria de polígonos regulares e a fórmula de corda em círculo.

Passo 2

Num polígono regular de n lados inscrito num círculo de raio R, a distância entre dois vértices que estão a k posições de diferença é dada por
dk = 2R sin!l(kpinr)
Uma diagonal ocorre quando k>=2 e k<= n-2.

Passo 3

Para n=8 (octógono), os valores de k que geram diagonais são k=2,3,4. Logo as três medidas de diagonal são
d2 = 2Rsin!l(2pi8r) =2Rsin!l(pi4r) =raiz2,R,
d3 = 2Rsin!l(3pi8r),
d4 = 2Rsin!l(4pi8r) =2Rsin!l(pi2r) =2R

Passo 4

Como raiz2,R, 2Rsin(3pi/8) e 2R são três números distintos, concluímos que há três medidas diferentes de diagonais.

Resposta

3

Exercícios de Livros Relacionados