Mostre que, se uma mediana relativa a um lado de um triângulo mede a metade desse lado, então o triângulo é retângulo.

Passo 1

Resumindo o enunciado: em triang<= ABC temos o lado BC de comprimento a e a mediana AM relativa a esse lado mede metade dele, ou seja
AM = a2
Para mostrar que o triângulo é retângulo em A, vamos usar o Teorema de Apolônio, que para a mediana ma=AM diz:
ma^2 = 2b^2 + 2c^2 - a^24,
onde b = AC e c = AB.

Passo 2

Substituindo ma = tfraca2 na fórmula de Apolônio, obtemos
l(tfraca2r)^2 = 2b^2 + 2c^2 - a^24

Passo 3

O lado esquerdo é tfraca^24, logo
a^24 = 2b^2 + 2c^2 - a^24 Longrightarrow a^2 = 2b^2 + 2c^2 - a^2

Passo 4

Reagrupando os termos, temos
2a^2 = 2b^2 + 2c^2 Longrightarrow a^2 = b^2 + c^2

Passo 5

A relação a^2 = b^2 + c^2 é exatamente a condição do Teorema de Pitágoras, portanto ang<= A é um ângulo reto. Assim, triang<= ABC é retângulo em A.

Resposta

O triângulo é retângulo em A.

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