Mostre que, se uma mediana relativa a um lado de um triângulo mede a metade desse lado, então o triângulo é retângulo.
Passo 1
Resumindo o enunciado: em
temos o lado
de comprimento
e a mediana
relativa a esse lado mede metade dele, ou seja
Para mostrar que o triângulo é retângulo em
, vamos usar o Teorema de Apolônio, que para a mediana
diz:
onde
e
.
Passo 2
Substituindo
na fórmula de Apolônio, obtemos
Passo 3
O lado esquerdo é
, logo
Passo 4
Reagrupando os termos, temos
Passo 5
A relação
é exatamente a condição do Teorema de Pitágoras, portanto
é um ângulo reto. Assim,
é retângulo em
.
Resposta
O triângulo é retângulo em
.