Mostre que, se uma altura e uma mediana de um triângulo coincidem, então esse triângulo é isósceles.
Passo 1
O enunciado quer provar que, em um triângulo, se uma altura e uma mediana partindo de um mesmo vértice coincidirem, então o triângulo é isósceles. Trata-se de um problema de geometria euclidiana, envolvendo propriedades de medianas, alturas e congruência de triângulos.
Passo 2
Seja um triângulo e seja o ponto em que a mediana e a altura provenientes de coincidem. Assim, é o ponto médio de e tem-se
Passo 3
Considere os triângulos e . Eles satisfazem:
(i) é lado comum;
(ii) BM = MC, pois M é ponto médio de BC;
(iii) ang<= AMB = ang<= AMC = 90^circ, pois AMperp BC.
Pelo critério Lado–Ângulo–Lado, conclui-se que
triang<= ABM cong triang<= ACM
Passo 4
Da congruência triang<= ABM cong triang<= ACM segue que os lados correspondentes são iguais, i.e.,
AB = AC
Logo, o triângulo ABC é isósceles.
Resposta
O triângulo ABC é isósceles, com AB = AC.
Cálculo - Osvaldo Dolce, José Nicolau Pompeo - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 9: Geometria Plana - 9ª Edição - Capítulo 6.Exercícios - Ex. 212