Mostre que, se uma altura e uma mediana de um triângulo coincidem, então esse triângulo é isósceles.

Passo 1

O enunciado quer provar que, em um triângulo, se uma altura e uma mediana partindo de um mesmo vértice coincidirem, então o triângulo é isósceles. Trata-se de um problema de geometria euclidiana, envolvendo propriedades de medianas, alturas e congruência de triângulos.

Passo 2

Seja ABC um triângulo e seja M o ponto em que a mediana e a altura provenientes de A coincidem. Assim, M é o ponto médio de BC e tem-se
AM perp BC

Passo 3

Considere os triângulos ABM e ACM. Eles satisfazem:
(i) AM é lado comum;
(ii) BM = MC, pois M é ponto médio de BC;
(iii) ang<= AMB = ang<= AMC = 90^circ, pois AMperp BC.
Pelo critério Lado–Ângulo–Lado, conclui-se que
triang<= ABM cong triang<= ACM

Passo 4

Da congruência triang<= ABM cong triang<= ACM segue que os lados correspondentes são iguais, i.e.,
AB = AC
Logo, o triângulo ABC é isósceles.

Resposta

O triângulo ABC é isósceles, com AB = AC.

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