9.5.14 Para uma boa aproximação, a interação de dois núcleos pode ser descrita por um potencial mesônico
atrativo para
negativo. Desenvolva uma solução de série da equação de onda de Schrödinger resultante.
através dos três coeficientes que não desaparecem.
em que “linha” indica multiplicação por
.
Passo 1
O enunciado pede a solução em série da equação de Schrödinger unidimensional com o potencial mesônico
onde
. A equação de onda é
Vamos usar o método de séries de potências em torno de
, definindo
de modo que a equação fique
Passo 2
Expanda
em série de potências:
Logo
Então o termo do potencial em série é
Passo 3
Procuramos
na forma
que garante regularidade em
. Então
Substituindo na equação
e coletando potências de
, obtemos uma relação de recorrência entre os
.
Passo 4
Escrevendo explicitamente até
e igualando coeficientes, achamos os três primeiros
. O termo principal em
dá
(vazio), em
surge
No coeficiente de
surge
No coeficiente de
aparece também o termo
, levando a
mas como a questão pede apenas até a potência
na solução, basta reconhecer o resultado compacto abaixo.