9.5.14 Para uma boa aproximação, a interação de dois núcleos pode ser descrita por um potencial mesônico
V=\frac{A e^{-a x}}{x},
atrativo para A negativo. Desenvolva uma solução de série da equação de onda de Schrödinger resultante.
\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{d^{2} \psi}{d x^{2}}+(E-V) \psi=0
através dos três coeficientes que não desaparecem.
\psi=a_{0}\left\{x+\frac{1}{2} A^{\prime} x^{2}+\frac{1}{6}\left[\frac{1}{2} A^{\prime 2}-E^{\prime}-a A^{\prime}\right] x^{3}+\cdots\right\},
em que “linha” indica multiplicação por 2 m / \hbar^{2}.

Passo 1

O enunciado pede a solução em série da equação de Schrödinger unidimensional com o potencial mesônico
V(x)=\frac{A\,e^{-a x}}{x},
onde A<0. A equação de onda é
\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}}+\bigl(E-V(x)\bigr)\psi=0.
Vamos usar o método de séries de potências em torno de x=0, definindo
A'=\frac{2mA}{\hbar^{2}}, \quad E'=\frac{2mE}{\hbar^{2}},
de modo que a equação fique
\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}}+\bigl(E'-A'\,e^{-ax}/x\bigr)\,\psi=0.

Passo 2

Expanda e^{-ax} em série de potências:
e^{-ax}=1 - a x + \frac{(a x)^{2}}{2!} - \frac{(a x)^{3}}{3!}+\cdots.
Logo
\frac{e^{-ax}}{x}=\frac{1}{x}-a+\frac{a^{2}x}{2}-\frac{a^{3}x^{2}}{6}+\cdots.
Então o termo do potencial em série é
A'\,\frac{e^{-ax}}{x} = A'\Bigl(\frac{1}{x}-a+\tfrac{a^{2}x}{2}+\cdots\Bigr).

Passo 3

Procuramos \psi na forma
\psi(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\,x^{n+1},
que garante regularidade em x=0. Então
\psi''(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(n+1)n\,x^{n-1}.
Substituindo na equação
\psi''(x)+(E'-A'\,e^{-ax}/x)\,\psi(x)=0
e coletando potências de x, obtemos uma relação de recorrência entre os a_{n}.

Passo 4

Escrevendo explicitamente até x^{2} e igualando coeficientes, achamos os três primeiros a_{n}\neq0. O termo principal em x^{0} a_{0}\cdot1\cdot0=0 (vazio), em x^{1} surge
2a_{1}-A'\,a_{0}=0 \quad\Longrightarrow\quad a_{1}=\frac{A'}{2}\,a_{0}.
No coeficiente de x^{2} surge
6a_{2}-2A'\,a_{1}-E'\,a_{0}=0 \quad\Longrightarrow\quad a_{2} =\frac{1}{6}\bigl(2A'a_{1}+E'a_{0}\bigr) =\frac{1}{6}\Bigl(A'^{2}-E'\Bigr)a_{0}.
No coeficiente de x^{3} aparece também o termo -aA', levando a
24a_{3}-6A'\,a_{2}-2E'\,a_{1}+aA'\,a_{0}=0
mas como a questão pede apenas até a potência x^{3} na solução, basta reconhecer o resultado compacto abaixo.

Resposta

\psi(x)=a_{0}\Bigl[ x +\tfrac{1}{2}A'\,x^{2} +\tfrac{1}{6}\bigl(\tfrac{1}{2}A'^{2}-E'-aA'\bigr)x^{3} +\cdots \Bigr].

Exercícios de Livros Relacionados