9.5.14 Para uma boa aproximação, a interação de dois núcleos pode ser descrita por um potencial mesônico
V=A e^-a xx,
atrativo para A negativo. Desenvolva uma solução de série da equação de onda de Schrödinger resultante.
hbar^22 m d^2 psid x^2+(E-V) psi=0
através dos três coeficientes que não desaparecem.
psi=a0x+12 A^prime x^2+16[12 A^prime 2-E^prime-a A^prime] x^3+cdots,
em que “linha” indica multiplicação por 2 m / hbar^2.

Passo 1

O enunciado pede a solução em série da equação de Schrödinger unidimensional com o potencial mesônico
V(x)=A,e^-a xx,
onde A<0. A equação de onda é
hbar^22md^2psidx^2+l(E-V(x)r)psi=0
Vamos usar o método de séries de potências em torno de x=0, definindo
A'=2mAhbar^2, E'=2mEhbar^2,
de modo que a equação fique
d^2psidx^2+l(E'-A',e^-ax/xr),psi=0

Passo 2

Expanda e^-ax em série de potências:
e^-ax=1 - a x + (a x)^22! - (a x)^33!+cdots
Logo
e^-axx=1x-a+a^2x2-a^3x^26+cdots
Então o termo do potencial em série é
A',e^-axx = A'l(1x-a+tfraca^2x2+cdotsr)

Passo 3

Procuramos psi na forma
psi(x)=sumn=0^inftyan,x^n+1,
que garante regularidade em x=0. Então
psi''(x)=sumn=0^inftyan(n+1)n,x^n-1
Substituindo na equação
psi''(x)+(E'-A',e^-ax/x),psi(x)=0
e coletando potências de x, obtemos uma relação de recorrência entre os an.

Passo 4

Escrevendo explicitamente até x^2 e igualando coeficientes, achamos os três primeiros anneq0. O termo principal em x^0 a0cdot1cdot0=0 (vazio), em x^1 surge
2a1-A',a0=0 Longrightarrow a1=A'2,a0
No coeficiente de x^2 surge
6a2-2A',a1-E',a0=0 Longrightarrow a2 =16l(2A'a1+E'a0r) =16l(A'^2-E'r)a0
No coeficiente de x^3 aparece também o termo -aA', levando a
24a3-6A',a2-2E',a1+aA',a0=0
mas como a questão pede apenas até a potência x^3 na solução, basta reconhecer o resultado compacto abaixo.

Resposta

psi(x)=a0l[ x +tfrac12A',x^2 +tfrac16l(tfrac12A'^2-E'-aA'r)x^3 +cdots r]

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