9.5.11 Obtenha duas soluções de série da equação hipergeométrica confluente
x y^prime prime+(c-x) y^prime-a y=0
Teste suas soluções para convergência.

Passo 1

Estamos diante da equação de Kummer (hipergeométrica confluente)
x,y''+(c-x),y'-a,y=0
Queremos achar duas soluções em série ao redor de x=0 usando o método de Frobenius e depois verificar onde essas séries convergem.

Passo 2

Assumimos
y=sumn=0^inftyan,x^n+s, a0neq0
Então
y'=sumn=0^infty(n+s)an,x^n+s-1, y''=sumn=0^infty(n+s)(n+s-1)an,x^n+s-2
Substituindo em x,y''+(c-x)y'-a,y=0 e coletando potências de x^n+s-1 obtém-se o indicial
s(s-1)+c,s=0 Longrightarrow sin0,;1-c

Passo 3

Para s=0 temos recur-r^encia
an+1 =(a+n)(n+1)(c+n),an, n>=0
Escolhendo a0=1, a solu\c~ao fica
y1(x) =sumn=0^infty(a)n(c)n,x^nn! =1F1l(a;c;xr),
onde (alpha)n=alpha(alpha+1)cdots(alpha+n-1) \u00e9 o s\’\imbolo de Pochhammer.

Passo 4

Para s=1-c segue recu-r^encia an’aloga com a0=1 e par^ametros deslocados, levando `a segunda solu\c~ao independente
y2(x) =x^1-c sumn=0^infty(a-c+1)n(2-c)n,x^nn! =x^1-c,1F1l(a-c+1;2-c;xr)

Passo 5

Aplicando o teste da razão em qualquer uma das séries:
limntoinfty |an+1,x^n+1+san,x^n+s| =limntoinfty|x|n+1=0<1 forall,xinC
Logo ambas as séries convergem para todo x (raio de convergência infinito).

Resposta

As duas soluções em série são
y1(x)=1F1l(a;c;xr) e y2(x)=x^1-c,1F1l(a-c+1;2-c;xr),
e ambas convergem para todo xinC.

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