9.5.11 Obtenha duas soluções de série da equação hipergeométrica confluente
Teste suas soluções para convergência.
Passo 1
Estamos diante da equação de Kummer (hipergeométrica confluente)
Queremos achar duas soluções em série ao redor de
usando o método de Frobenius e depois verificar onde essas séries convergem.
Passo 2
Assumimos
Então
Substituindo em
e coletando potências de
obtém-se o indicial
Passo 3
Para
temos recur-r^encia
Escolhendo
, a solu\c~ao fica
onde
\u00e9 o s\’\imbolo de Pochhammer.
Passo 4
Para
segue recu-r^encia an’aloga com
e par^ametros deslocados, levando `a segunda solu\c~ao independente
Passo 5
Aplicando o teste da razão em qualquer uma das séries:
Logo ambas as séries convergem para todo
x (raio de convergência infinito).
Resposta
As duas soluções em série são
e ambas convergem para todo
xinC .