9.5.11 Obtenha duas soluções de série da equação hipergeométrica confluente
x y^{\prime \prime}+(c-x) y^{\prime}-a y=0 .
Teste suas soluções para convergência.

Passo 1

Estamos diante da equação de Kummer (hipergeométrica confluente)
x\,y''+(c-x)\,y'-a\,y=0.
Queremos achar duas soluções em série ao redor de x=0 usando o método de Frobenius e depois verificar onde essas séries convergem.

Passo 2

Assumimos
y=\sum_{n=0}^{\infty}a_n\,x^{n+s},\quad a_0\neq0.
Então
y'=\sum_{n=0}^{\infty}(n+s)a_n\,x^{n+s-1},\quad y''=\sum_{n=0}^{\infty}(n+s)(n+s-1)a_n\,x^{n+s-2}.
Substituindo em x\,y''+(c-x)y'-a\,y=0 e coletando potências de x^{n+s-1} obtém-se o indicial
s(s-1)+c\,s=0 \quad\Longrightarrow\quad s\in\{0,\;1-c\}.

Passo 3

Para s=0 temos recur-r^encia
a_{n+1} =\frac{(a+n)}{(n+1)(c+n)}\,a_n, \qquad n\ge0.
Escolhendo a_0=1, a solu\c~ao fica
y_1(x) =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a)_n}{\text{(c)}_n}\,\frac{x^n}{n!} ={}_1F_1\bigl(a;c;x\bigr),
onde (\alpha)_n=\alpha(\alpha+1)\cdots(\alpha+n-1) \u00e9 o s\’\imbolo de Pochhammer.

Passo 4

Para s=1-c segue recu-r^encia an’aloga com a_0=1 e par^ametros deslocados, levando `a segunda solu\c~ao independente
y_2(x) =x^{1-c} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a-c+1)_n}{(2-c)_n}\,\frac{x^n}{n!} =x^{1-c}\,{}_1F_1\bigl(a-c+1;2-c;x\bigr).

Passo 5

Aplicando o teste da razão em qualquer uma das séries:
\lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}\,x^{n+1+s}}{a_n\,x^{n+s}}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{|x|}{n+1}=0<1 \quad\forall\,x\in\mathbb{C}.
Logo ambas as séries convergem para todo x (raio de convergência infinito).

Resposta

As duas soluções em série são
y_1(x)={}_1F_1\bigl(a;c;x\bigr) \quad\text{e}\quad y_2(x)=x^{1-c}\,{}_1F_1\bigl(a-c+1;2-c;x\bigr),
e ambas convergem para todo x\in\mathbb{C}.

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