Se a, b in R, mostre que
sup a, b=a+b+|a-b|2 e inf a, b=a+b-|a-b|2

Passo 1

O enunciado pede para mostrar fórmulas fechadas, em termos de valor absoluto, para
e analisar os dois casos .

Passo 2

Defina
M = a+b+|a-b|2
Queremos mostrar que M=maxa,b.
Caso 1: a>= b.
Então a-b>=0, logo |a-b|=a-b. Substituindo em M
M = a+b+(a-b)2 = 2a2 = a
Como nesse caso maxa,b=a, obtemos M=maxa,b.
Caso 2: a< b.
Então a-b<0, logo |a-b|=-(a-b)=b-a. Assim
M = a+b+(b-a)2 = 2b2 = b,
e de fato maxa,b=b, ficando M=maxa,b.

Passo 3

Como em ambos os casos M coincide com o maior dos dois números, concluímos
supa,b ;=;maxa,b ;=; a+b+|a-b|2

Passo 4

Defina agora
m = a+b - |a-b|2
Queremos mostrar que m=mina,b.
Caso 1: a>= b.
Temos |a-b|=a-b e então
m = a+b-(a-b)2 = 2b2 = b,
que é mina,b neste caso.
Caso 2: a< b.
Temos |a-b|=b-a e assim
m = a+b-(b-a)2 = 2a2 = a,
que de fato é mina,b.

Passo 5

Como m coincide em cada caso com o menor de a e b, concluímos
infa,b ;=;mina,b ;=; a+b - |a-b|2

Resposta

supa,b = a+b+|a-b|2, infa,b = a+b - |a-b|2

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