Prove que se
é racional, então
também é racional.
Passo 1
O enunciado pede para provar que, sempre que
é um número racional, então
também é racional. O conteúdo principal aqui é a identidade trigonométrica de ângulo triplo, que expressa
em função de
.
Passo 2
Vamos derivar a fórmula de ângulo triplo começando por
Sabemos que
Substituindo em
, obtemos
Em seguida, usando
, chega-se a
Passo 3
Seja
com
. Então
e como soma e produto de números racionais é racional, segue que
.
Resposta
Fica demonstrado que
é racional sempre que
for racional.