Prove que se cos theta é racional, então cos 3 theta também é racional.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, sempre que costheta é um número racional, então cos3theta também é racional. O conteúdo principal aqui é a identidade trigonométrica de ângulo triplo, que expressa cos3theta em função de costheta.

Passo 2

Vamos derivar a fórmula de ângulo triplo começando por
cos3theta = cos(2theta + theta) = cos2theta,costheta ;-;sin2theta,sintheta
Sabemos que
cos2theta = 2cos^2theta - 1, sin2theta = 2sintheta,costheta, sin^2theta = 1 - cos^2theta
Substituindo em cos3theta, obtemos
cos3theta = (2cos^2theta - 1)costheta ;-; 2sintheta,costheta;sintheta = 2cos^3theta - costheta - 2sin^2theta,costheta
Em seguida, usando sin^2theta = 1 - cos^2theta, chega-se a
cos3theta = 2cos^3theta - costheta - 2(1-cos^2theta)costheta = 4cos^3theta - 3costheta

Passo 3

Seja costheta = q com qinQ. Então
cos3theta = 4q^3 - 3q,
e como soma e produto de números racionais é racional, segue que cos3thetainQ.

Resposta

Fica demonstrado que
cos3theta = 4cos^3theta - 3costheta
é racional sempre que costheta for racional.

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