(Brasil Preparação Cone Sul-95) Para cada x real, seja [x] o maior inteiro que é menor ou igual a x,x a parte fracionária de x(x=x-[x]) e (x) o inteiro mais próximo de x , definido por:
(x)=cll[x], & se & 0 <=x<1 / 2 [x]+1, & se & 1 / 2 <=x<1.
Quantas soluções possui a equação x=x+[x]+(x)1995 ?

Passo 1

O enunciado define para cada real x:
[x] é o maior inteiro <= x.
x=x-[x] é a parte fracionária de x.
(x) é o inteiro mais próximo de x, dado por
(x)= [x],&0<=x<tfrac12, [x]+1,&tfrac12<=x<1
Queremos o número de soluções reais de
x=x+[x]+(x)1995

Passo 2

Seja n=[x] e f=x. Então x=n+f e (x)=k vale
k= n,&0<= f<tfrac12, n+1,&tfrac12<= f<1
Substituindo na equação:
f=(n+f)+n+k1995 ;Longrightarrow; 1995f=2n+k+f ;Longrightarrow; 1994f=2n+k ;Longrightarrow; f=2n+k1994

Passo 3

Caso 0<= f<tfrac12, temos k=n. Logo
f=2n+n1994=3n1994
Impor 0<= f<tfrac12
0<=3n1994<12 ;Longrightarrow; 0<= n<9973approx332,33 ;Longrightarrow; nin0,1,2,dots,332
Isso gera 333 soluções (uma para cada n).

Passo 4

Caso tfrac12<= f<1, temos k=n+1. Logo
f=2n+(n+1)1994=3n+11994
Impor tfrac12<= f<1
tfrac12<=3n+11994<1 ;Longrightarrow; 3n+1>=997;wed>=;3n+1<1994 ;Longrightarrow; 332<= n<=664
Isso gera também 664-332+1=333 soluções.

Passo 5

Somando os dois casos, o total de soluções é
333+333=666

Resposta

666

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