(Espírito Santo). Quantos zeros existem no final do número 1997! = 1.2.3.4.5… 1997 ?

Passo 1

O enunciado pede a quantidade de zeros no final de 1997!. Esse tipo de problema usa o fato de que cada zero no final de um fatorial vem de um fator 10, e 10 = 2 times 5. Como em n! sempre há mais fatores 2 do que 5, basta contar quantas vezes o fator 5 aparece na fatoração de 1997!.

Passo 2

Para contar o número de fatores 5 em 1997! usamos a fórmula
sumk=1^infty lfloor 19975^k rfloor,
pois lfloor 1997/5^krfloor conta quantos múltiplos de 5^k cabem em 1,2,dots,1997.

Passo 3

Calculamos cada termo não nulo:
lfloor 19975 rfloor = 399, lfloor 199725 rfloor = 79, lfloor 1997125 rfloor = 15,
lfloor 1997625 rfloor = 3, lfloor 19973125 rfloor = 0

Passo 4

Somando esses valores temos o total de fatores 5:
399 + 79 + 15 + 3 = 496
Como os fatores 2 são mais abundantes, o número de zeros finais é igual ao número de fatores 5.

Resposta

496

Exercícios de Livros Relacionados