Determinar a mais alta potência de 7 que divide o produto dos 1000 primeiros inteiros positivos.

Passo 1

O enunciado pede a maior potência de 7 que divide o produto dos primeiros 1000 inteiros positivos, ou seja, o maior expoente k tal que 7^kmid 1000!. O conteúdo usado será a fórmula de Legendre para determinar o expoente de um primo em n!.

Passo 2

A fórmula de Legendre diz que, para um primo p e inteiro n, o expoente de p em n! vale
sumi=1^inftylfloor np^irfloor,
porque contamos quantas vezes cada múltiplo de p, de p^2, etc., contribui.

Passo 3

Aqui p=7 e n=1000. Calculamos os termos até que 7^i>1000:
lfloor 10007rfloor =142, lfloor 10007^2rfloor =lfloor 100049rfloor =20, lfloor 10007^3rfloor =lfloor 1000343rfloor =2, lfloor 10007^4rfloor =lfloor 10002401rfloor =0
Somando,
142 + 20 + 2 + 0 = 164

Resposta

A maior potência de 7 que divide 1000! é
7^164

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