Determinar a mais alta potência de 7 que divide o produto dos 1000 primeiros inteiros positivos.
Passo 1
O enunciado pede a maior potência de 7 que divide o produto dos primeiros 1000 inteiros positivos, ou seja, o maior expoente
tal que
. O conteúdo usado será a fórmula de Legendre para determinar o expoente de um primo em
.
Passo 2
A fórmula de Legendre diz que, para um primo
e inteiro
, o expoente de
em
vale
porque contamos quantas vezes cada múltiplo de
, de
, etc., contribui.
Passo 3
Aqui
e
. Calculamos os termos até que
:
Somando,
Resposta
A maior potência de 7 que divide
é