Determinar a mais alta potência de 11 que divide o produto: P=100 times 101 times 102 times ldots times 1000.

Passo 1

O enunciado pede o maior expoente de 11 que divide
P = 100 times 101 times cdots times 1000
O conteúdo aqui é fatoração em primos de um produto consecutivo, e a ferramenta é a fórmula de Legendre para o expoente de um primo p em n!:
vp(n!) ;=;sumk=1^infty lfloor np^k rfloor

Passo 2

Repare que
P ;=;100cdot101cdots1000 ;=;1000!99!
Logo o expoente de 11 em P é
v11(P);=;v11(1000!) ;-;v11(99!)

Passo 3

Aplicando Legendre em 1000! para p=11:
v11(1000!) =lfloor100011rfloor +lfloor100011^2rfloor +lfloor100011^3rfloor =underbrace901000/11 +underbrace81000/121 +underbrace01000/1331 =98

Passo 4

Agora em 99!:
v11(99!) =lfloor9911rfloor +lfloor99121rfloor =underbrace999/11 +underbrace099/121 =9

Passo 5

Subtraindo os resultados:
v11(P)=98-9=89
Portanto a maior potência de 11 que divide P é 11^89.

Resposta

A mais alta potência de 11 que divide P é 11^89.

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