(Colégio Naval-2005) Se \underline{a}, \underline{b}, \underline{c} e \underline{d} são números reais não nulos tais que a d^{2}+b c^{2}=0, pode-se afirmar que
a) \frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d} ; b+d \neq 0
b) \frac{a}{c}+\frac{b}{d}=\frac{a+b}{c+d} ; c+d \neq 0
c) \frac{a}{d}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c+d} ; c+d \neq 0
d) \frac{c}{a}+\frac{b}{d}=\frac{b+c}{a+d} ; a+d \neq 0
e) \frac{c}{b}+\frac{d}{a}=\frac{c+d}{a+d} ; a+b \neq 0

Passo 1

O enunciado dá quatro números reais não nulos \underline{a},\underline{b},\underline{c},\underline{d} satisfazendo
a\,d^{2}+b\,c^{2}=0,
e pede identificar qual igualdade entre as alternativas (a)–(e) vale sempre, sob a condição indicada. O conteúdo é manipulação algébrica de frações e uso da relação dada para testar cada identidade.

Passo 2

Da condição a\,d^{2}+b\,c^{2}=0 segue
a\,d^{2}=-b\,c^{2} \quad\Longrightarrow\quad a=-\,b\,\frac{c^{2}}{d^{2}}.
Para simplificar, defina k=\frac{c}{d}. Então
a=-\,b\,k^{2} \quad\text{e}\quad c=k\,d.

Passo 3

Testamos a alternativa (b):
\frac{a}{c}+\frac{b}{d} \stackrel{?}{=} \frac{a+b}{c+d}, \quad c+d\neq0.
Substituindo a=-b\,k^{2} e c=k\,d,
\frac{a}{c}+\frac{b}{d} =\frac{-b\,k^{2}}{k\,d}+\frac{b}{d} =-\frac{b\,k}{d}+\frac{b}{d} =\frac{b}{d}(1-k),
enquanto
\frac{a+b}{c+d} =\frac{-b\,k^{2}+b}{k\,d+d} =\frac{b(1-k^{2})}{d(k+1)} =\frac{b(1-k)(1+k)}{d(k+1)} =\frac{b}{d}(1-k),
desde que k+1\neq0 (ou seja, c+d\neq0). Como os dois lados coincidem, a alternativa (b) é a correta.

Resposta

b) \displaystyle \frac{a}{c}+\frac{b}{d}=\frac{a+b}{c+d}; c+d\neq0.

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