(CM Brasília-2009) Dadas as expressões \mathrm{X}=\frac{2^{10}-3^{6}}{2^{5}+3^{3}} e \mathrm{Y}=\frac{2^{3+\mathrm{x}}-2^{\mathrm{x}-3}}{2^{\mathrm{k}}+2^{\mathrm{x}-3}}, determine o valor de \mathrm{X}^{-1} . \mathrm{Y}
a) -0,71
b) 1,4
c) 0,71
d) -1,4
e) -0,14

Passo 1

O enunciado dá duas expressões envolvendo potências de 2 e 3:
X=\frac{2^{10}-3^{6}}{2^{5}+3^{3}}
e
Y=\frac{2^{x+3}-2^{x-3}}{2^{x}+2^{x-3}}
e pede o valor de X^{-1}\cdot Y. Vamos usar propriedades de potências para simplificar cada uma.

Passo 2

Calcular X. Primeiro avaliaremos numericamente:
2^{10}=1024,\quad 3^{6}=729,\quad 2^{5}=32,\quad 3^{3}=27.
Logo
X=\frac{1024-729}{32+27}=\frac{295}{59}=5.

Passo 3

Calcular Y. Note que tanto o numerador quanto o denominador têm termos com base 2 e expoentes que diferem em 3. Fatoramos 2^{x-3} em cada um:
2^{x+3}-2^{x-3} =2^{x-3}\bigl(2^{6}-1\bigr) =2^{x-3}\cdot 63,
2^{x}+2^{x-3} =2^{x-3}\bigl(2^{3}+1\bigr) =2^{x-3}\cdot 9.
Portanto
Y=\frac{2^{x-3}\cdot 63}{2^{x-3}\cdot 9} =\frac{63}{9}=7.

Passo 4

Agora basta calcular
X^{-1}\cdot Y=\frac{Y}{X}=\frac{7}{5}=1{,}4.

Resposta

b) 1{,}4
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